Question

已知向量a=(sinα，-2)，向量b=(1,cosα)，且向量a⊥向量b

1）求cos^2α-sinαcosα的值
2）若α∈（0，π/2），β∈（-π/2,0），且cos(α-β)=-（√10）/10，求β的值
cos^2α：cosα的平方

Answer 1

本题可近似认为是一个纯三角函数题，题意给出的条件只能得出sinα = 2cosα
1）cos^2α-sinαcosα= -(cosα)^2 ，现在求(cosα)^2
因为sinα = 2cosα
两边平方=> (sinα)^2 = 4(cosα)^2 = 1 - (cosα)^2 => (cosα)^2 = 1/5
所以cos^2α-sinαcosα=-1/5
2）分析一下，根据α∈（0，π/2），β∈（-π/2,0），且cos(α-β)<0，可知π/2 < (α-β) < π
从题意已知tanα = 2；为避免使用根式计算，自然可以看出tan(α-β)比较方便，可以方便地看出（不是计算出）tan(α-β) = - 3 = (tanα-tanβ)/(1+tanα*tanβ) = (2-tanβ)/(1+2tanβ)=>tanβ=-1 => β = -π/4
希望对你有所帮助。

Answer 2

因为向量a⊥向量b 。
∴ sina -2cosa=0
即tana=2
∵sin²a＋cos²a=1
将cos²a -sinαcosα/sin²a＋cos²a
再将这个式子同时除以cos²a得
1-tana/tan²a＋1
得-1/5

2.∵ β=[α-(α-β)]

Answer 3

2）cosβ=cos[α-(α-β)] =cosαcos(α-β)-sinαsin(α-β);因为α∈（0，π/2），β∈（-π/2,0），所以
cosα、sinα大于0，0<α-β<π,所以sin(α-β)>o，又cos(α-β)=-（√10）/10，所以sin(α-β)=)=（3√10）/10；由1）中tana=2可知sinα=（2√5）/5，cosα=（√5）/5。把上面的数据代入式子中就可以求出cosβ了，再根据β的取值范围就可以求出β了。