Question

张宇十八讲里的7.3看不懂2和4是怎么证明有界无界的

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Answer 1

第②项的函数如下图:

这个函数在x=0处既是无穷间断点也是振荡间断点。而定积分是不能对含有无穷间断点的函数区间进行积分的，如下图参考自《张宇高等数学18讲》北京理工大学出版社:

如果要对此函数积分，必须采用"反常积分"或其他积分方法。

第④项:
注意此函数在x=0处只是震荡间断点，不是无穷间断点，如下图

有界(当x→0时函数值在±1附近振荡)且间断点个数有限(此只有1个)，是可以定积分的！
而原函数只要取任意一点a，从a积到x所得的积分上限函数即为原函数，所以当然存在原函数。
而且此项的原函数就是"x²cos(1/x)+ C"