Question

在菱形ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足为E、F,若对角线BD与AB、AF交于点M、N,且BM=MN,求证：∠EAF=2∠BAE

Answer 1

证明：连结AC交BD于点0，
因为ABCD是菱形，
所以BC=CD=AB=AD，角ABC=角ADC，
因为AE垂直于BC于E，AF垂直CD于F，
所以由平行四边形面积=底乘高的计算公式可知：AE=AF，
所以三角形ABE全等于三角形ADF，
所以AE=DF，
因为角DBC=角ABC的一半，角BDC=角ADC的一半，
所以角BDC=角ADC
所以三角形BME全等于三角形DNF，
所以DN=BM=MN，
因为ABCD是菱形，
所以BO=DO，角BOC是直角，
所以OM=ON，BM=2OM，
因为AO=CO，BO是三角形ABC的中线，又BM=2OM，
所以M是三角形ABC的重心，AE是BC边上的中线，
所以BE=BC的一半=AB的一半，
所以角BAE=30度，角ABC=60度，
因为三角形ABE全等于三角形CDF，
所以角DAF=30度，
因为AD平行于BC，角ABC=60度，
所以角BAD=120度，
所以角EAF=60度，
所以角EAF=2角BAE。