Question

求与直线x=1-t y=-1+2t z=2+t及x+1/1=y+2/0=z+1/1都平行且过原点的平面方程。

Answer 1

两直线的方向向量分别是v1=（-1，2，1）。

v2=（1，0，1），因此所求平面的法向量为：

n=v1×v2=（2，2，-2）。

由于平面过原点，因此方程为：

2x+2y-2z=0，化简得x+y-z=0。

定义

在空间坐标系内，平面的方程均可用是xyz的三元一次方程Ax+By+Cz+D=0来表示。由于平面的点法式方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0是x,y,x的一次方程，而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定,所以任何一个平面都可以用三元一次方程来表示。

Answer 2

简单计算一下，答案如图所示

Answer 3

第一条直线的方向向量a=(-1,2,1),
第二条直线的方向向量b=(1,0,1),
设所求的平面的法向量c=(p,q,1),依题意
ac=-p+2q+2=0,
bc=p+1=0,
解得p=-1,q=-3/2,c=(-1,-3/2,1),
于是，所求的平面方程是-x-3y/2+z=0,即2x+3y-2z=0.

追问

两直线的方向向量分别是v1=(-1，2，1)，
v2=(1，0，1)，因此所求平面的法向量为
n=v1×v2=(2，2，-2)，
由于平面过原点，因此方程为
2x+2y-2z=0，化简得 x+y-z=0。
这样与您做的不一样?

追答

ac=-p+2q+1=0(这里错了),
q=-1.
谢谢指正。

Answer 4

引用hbc3193的回答：
第一条直线的方向向量a=(-1,2,1),
第二条直线的方向向量b=(1,0,1),
设所求的平面的法向量c=(p,q,1),依题意
ac=-p+2q+2=0,
bc=p+1=0,
解得p=-1,q=-3/2,c=(-1,-3/2,1),
于是，所求的平面方程是-x-3y/2+z=0,即2x+3y-2z=0.

ac=-p+2q+1=0