Question

证明X满秩时， X'X可逆 P=X(X'X)^-1X', M=I-P, 证明对任意列向量y'My>=0. 急求 在线等。 可追加。

X是N*k矩阵 N>k

谢谢 我知道M怎么证明半正定了 P可以容易证明出来是对称和幂等的N*N矩阵 然后证明M是对称和幂等的N*N的矩阵 所以y'My=y'M*My=y'M’My=(My)'(My)； M是N*N的，y是N*1的 所以(My)是N*1的矩阵，设(My)=A(a1,a2,.....an), 则(My)'(My)=A'A=a1^2+a2^2+...+an^2>=0
故y'My>=0, M半正定得证。

Answer 1

题目写得太不清楚了，X是不是方阵？不是方阵的话是行满秩？

追问

X是N*k矩阵 N>k

追答

先证明X'X可逆。令向量y满足X'Xy=0，则有y'X'Xy=0，或等价的(Xy)'(Xy)=0，于是必有Xy＝0。由于X列满秩，Xy＝0只有零解y＝0，因此X'Xy＝0意味着y＝0，X’X满秩。X‘X是可逆阵。
再证明M是半正定阵，只需证明P的特征值皆小于等于1就可以了。设y是P的一个特征向量，a是特征值，即X(X'X)^(－1)X'y＝ay，（×） 左乘 X’后得
X'y=aX'y。分情况讨论：1、当X'y不为0时，由（1－a)X'y＝0知道a＝1，特征值是1。
2、当X'y=0时，由（×）式知ay＝0，于是a＝0。
综上知道P的特征值只能是0或1。再由P是对称阵知道E－P是对称阵，特征值只能是0或者1，因此M是半正定阵。结论成立。
ps:
实际上可以验证P^2＝P，由这个等式也可证明P的特征值只可能是0或1。M也满足M^2＝M。

追问

那么由X'X可逆推至X满秩怎么证明呢,, 不好意思啊 真心不会
另外，M是半正定阵这个证明，特征值只能是0或者1是怎么推出M半正定的 我看不明白...

追答

X'X可逆，则k＝r(X'X)<=r(X)<=k，于是r(X)=k，X满秩。
对称阵的特征值都大于等于0，对称阵就是半正定阵。特征值都大于0，就是正定阵。