判别下列级数的敛散性：∑(a^(1/n)+a^(-1/n)-2) (a>0)
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(a^(1/n)+a^(-1/n)-2)=a^(- 1/n)[a^(1/n)- 1]²
应用比较法：与：∑1/n²作比较：
lim<n→∞>{a^(- 1/n)[a^(1/n)- 1]²}/(1/n²)
=lim<n→∞>a^(- 1/n)·lim<n→∞>[a^(1/n)- 1]²}/(1/n²)
=lim<n→∞>[(1/n)·lna]²}/(1/n²)
=ln²a>0
所以，此级数收敛。
应用比较法：与：∑1/n²作比较：
lim<n→∞>{a^(- 1/n)[a^(1/n)- 1]²}/(1/n²)
=lim<n→∞>a^(- 1/n)·lim<n→∞>[a^(1/n)- 1]²}/(1/n²)
=lim<n→∞>[(1/n)·lna]²}/(1/n²)
=ln²a>0
所以，此级数收敛。
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这跟刚才一样啊：a^(1/n)+a^(－1/n)－2
＝e^(lna/n)+e^(－lna/n)－2
＝1+lna/n+(lna/n)^2/2+1－lna/n+(－lna/n)^2/2－2+小o(1/n^2)
等价于(lna)^2/n^2
因此收敛。
＝e^(lna/n)+e^(－lna/n)－2
＝1+lna/n+(lna/n)^2/2+1－lna/n+(－lna/n)^2/2－2+小o(1/n^2)
等价于(lna)^2/n^2
因此收敛。
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追问
＝1+lna/n+(lna/n)^2/2+1－lna/n+(－lna/n)^2/2－2+小o(1/n^2)
这一步怎么来啦
追答
Taylor展式啊：e^x=1+x+x^2+小o(x^2)。
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