Question

如图,已知四边形ABCD为平行四边形,E是AD上一点,且CE平分角BCD,BE垂直CE,求证BC=2C

Answer 1

【求证BC=2CD】
证明：
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB//CD
∴∠ABC+∠BCD=180º
即∠ABE+∠EBC+∠DCE+∠ECB=180º
∵BE⊥CE，即∠BEC=90º
∴∠EBC+∠ECB=90º
∴∠ABE+∠DCE=90º
∵∠DCE=∠ECB【CE平分∠BCD】
∴∠ABE=∠EBC
∵AD//BC
∴∠AEB=∠EBC=∠ABE ＝＞AB=AE
∠DEC=∠ECB=∠DCE ＝＞CD=DE
∴AD=AE+DE=AB+CD
∵AB=CD，BC=AD【平行四边形对边相等】
∴BC=AB+CD=2CD

Answer 2

是求证：BC=2CD吧？
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AD∥BC
∴∠CBE=∠AEB，
∠DEC=∠BCE
∵CE平分∠BCD ∴∠BCE=∠DCE=½∠BCD
∴∠DEC=∠DCE ∴CD=ED
∵BE⊥CE ∴∠BEC=90° ∴∠BCE＋∠CBE=90° 即½∠BCD＋∠CBE=90°
又∵∠BCD＋∠ABC=180° ∴½∠BCD＋½∠ABC=90°
∴∠CBE=½∠ABC 即∠ABC=2∠CBE
而∵∠ABC=∠CBE＋∠ABE ∴∠CBE=∠ABE
又∵∠CBE=∠AEB ∴∠AEB=∠ABE ∴AE=AB
而AB=CD ∴AE=CD ﹙前面已证：CD=ED﹚ ∴AD=AE＋ED=2CD
∴BC=2CD