Question

已知a,b为正整数,a-b为素数,ab为完全平方数,a大于等于2012，求a的最小值。

Answer 1

ab为完全平方数若a不是完全平方数，那么b也不是
设a=x^2y 那么b必然可设b=z^2y（y不是1） a-b=y（x^2y -z^2） =（x+z）（x-z）y
显然x+z>x-z x-z最小1 x+z 和y至少2 那么a-b=（x+z）（x-z）y不是素数，矛盾
故a b都是完全平方数
设a=m^2 b=n^2
a-b=（m-n）（m+n）=质数显然
m-n=1 m+n=质数
,a>=2012 根a>=45 即m=45（最小） 此时a=2025 n=44
a-b=89=质数所以 a=2025

Answer 2

-b=p(质数)，由辗转相除法的原理可得出结论：要么p是a，b的公约数，要么a，b互质。
如果p是a，b的公约数：令b=np,则a=b+p=(n+1)p,ab=n(n+1)p^2，n(n+1)不可能是完全平方数
如果a，b互质:由ab是完全平方数，可知，a和b都是完全平方数，令a是m的平方，b是n的平方，则a-b=m^2-n^2=(m+n)(m-n),a-b是质数，所以m-n=1，m+n=p，sqrt(2011)>44,而45+44=89是一个素数，所以，a最小是45^2=2025，b只能是44^2=1936

Answer 3

a=2017,b=0时符合题意