Question

已知函数f(x)=4x^3+3tx^2-6tx+t-1 .x属于R， t属于R

(1)当t不等于0时 求f(x)单调区间
(2)证明：对任意的t属于（0，正无穷），f(x)在（0，1）内均存在零点

Answer 1

先对f(x)求导得12x^2+6tx-6t^2
令导数为0 得两个解：-t,t/2
讨论t的正负
1）当t>0时，减区间为：（-t，t/2）；增区间为：t/2到正无穷大和负无穷到-t
2）证明：由（II）可知，当t＞0时，f（x）在（0，t／2）内单调递减，在（t／2，+∞）内单调递增，以下分两种情况讨论：
（1）当t／2≥1，即t≥2时，f（x）在（0，1）内单调递减．
f（0）=t-1＞0，f（1）=-6t 2 +4t+3≤-13＜0
所以对于任意t∈[2，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．
（2）当0＜t／2＜1，即0＜t＜2时，f（x）在（0，t／2）内单调递减，在（t／2，1）内单调递增
若t∈（0，1]，f（t／2）=7／4t^3+t-1≤7／4t^3＜0，
f（1）=）=-6t 2 +4t+3≥-2t+3＞0
所以f（x）在（t／2，1）内存在零点．
若t∈（1，2），f（t／2）=7／4t^3+t-1＜7／4t^3+1＜0，
f（0）=t-1＞0∴f（x）在（0，t／2）内存在零点．
所以，对任意t∈（0，2），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．
综上，对于任意t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．