Question

如图，抛物线y=(x+1)2+k与y轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，-3）

（1）求抛物线的对称轴及k的值
（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使的PA+PC的值最小，求此时点P的坐标
（3）M是抛物线的一个动点，且在第三象限
1.当点M运动到何处时，三角形AMB的面积最大？求出三角形AMB的最大面积及此时的点M的坐标
2.当点M运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时的M点的坐标

Answer 1

(1)对称轴x=-1
C（0，-3）代入
-3=1+k
k=-4
(2)求A、B点
0=（x+1)^2-4
x1=1,x2=-3
A(-3,0),B(1,0)
要使的PA+PC的值最小
则P点在AC连线上且与对称轴相交，故x=-1
利用相似三角形，|y|:3=2:3
|y|=2，看图形知其在第三象限，
所以P(-1,-2)
（3）因AB数值一定，欲求AMB面积最小，则M点应在最顶端，即应在对称轴上
故M（-1，-4）
面积=1/2*4*4=8
欲要AMCB面积最大，则M点应在C点相对对称轴的位置，组成一个平行四边形
则M （-2，-3）
面积=（4+2）*3/2=9

Answer 2

（3）AMCB的面积=△ABC+△AMC
其中△ABC固定的,，AB=4
以AB为底边，高为3
S△ABC=4*3/2=6
要使的四边形AMCB的面积最大
即要求AMC面积最大
直线AC固定AC=3√2
即求抛物线上点到直线AC距离最大处
也就是求一与AC平行的直线与抛物线相切与第三象限的切点
设直线x+y+m=0，y=-x-m
代入抛物线y=(x+1)²-4
-x-m=x²+2x-3
x²+3x+(m-3)=0有一个解
△=9-4(m-3)=0
m=21/4
x²+3x+9/4=0的解为x=-3/2
y=-x-m=3/2-21/4=-15/4
M坐标为(-3/2,-15/4)
M到AC的距离为I21/4-3I/√2=(9/8)√2 【可以用平行直线的距离公式或点到直线距离公式】
S△AMC=1/2 *(9/8)√2*3√2=27/8
AMCB的面积=△ABC+△AMC=6+27/8=75/8

Answer 3

（3）AMCB的面积=△ABC+△AMC
其中△ABC固定的,，AB=4
以AB为底边，高为3
S△ABC=4*3/2=6
要使的四边形AMCB的面积最大
即要求AMC面积最大
直线AC固定AC=3√2
即求抛物线上点到直线AC距离最大处
也就是求一与AC平行的直线与抛物线相切与第三象限的切点
设直线x+y+m=0，y=-x-m
代入抛物线y=(x+1)²-4
-x-m=x²+2x-3
x²+3x+(m-3)=0有一个解
△=9-4(m-3)=0
m=21/4
x²+3x+9/4=0的解为x=-3/2
y=-x-m=3/2-21/4=-15/4
M坐标为(-3/2,-15/4)
过C点作CE平行x轴交AM于E点
AM的直线方程为y=-5/2x-15/2
从而求出E(-9/5，-3)
S△AMC=S△AEC+S△EMC=1/2*EC的绝对值*M到x轴的距离=1/2*9/5*15/4=27/8
S四边形AMCB=S△ACB+S△AMC=6+27/8=75/8

Answer 4

（1）将点C的坐标代入抛物线方程中，得-3=1+k，k=-4
所以抛物线的对称轴为x=-1,k=-4
(2)要使PA+PC的值最小，则p点在直线AC上，A(-3,0)，B（1,0），C(0,-3)直线AC为y=-x-3
直线AC和x=-1相交即可求得P的坐标，为（-1，-2）
（3）因为AB的长度确定，为4，所以要使三角形AMB的面积最大，则必须要使以AB为底的高最大，由图可得M(-1,-4)时可得到最大面积，最大面积为8
四边形AMCB分为三角形ABC和三角形ACM。三角形ABC面积是确定的，为6。
所以要使三角形ACM的面积最大，设过M的直线为y=-x+b,该直线和抛物线是相切的。M点为（-3/2,-15/4),最大的面积为75/8
真的打得我累死了，希望被采纳吧