Question

如图，抛物线y=(x+1)2+k与y轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，-3）

（1）求抛物线的对称轴及k的值
（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使的PA+PC的值最小，求此时点P的坐标
（3）M是抛物线上的一个动点，且在第三象限
1.当点M运动到何处时，三角形AMB的面积最大？求出三角形AMB的最大面积及此时的点M的坐标
2.当点M运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时的M点的坐标

Answer 1

（1）将点C的坐标代入抛物线方程中，得-3=1+k，k=-4
所以抛物线的对称轴为x=-1,k=-4
(2)要使PA+PC的值最小，则p点在直线AC上，A(-3,0)，B（1,0），C(0,-3)直线AC为y=-x-3
直线AC和x=-1相交即可求得P的坐标，为（-1，-2）
（3）因为AB的长度确定，为4，所以要使三角形AMB的面积最大，则必须要使以AB为底的高最大，由图可得M(-1,-4)时可得到最大面积，最大面积为8
四边形AMCB分为三角形ABC和三角形ACM。三角形ABC面积是确定的，为6。
所以要使三角形ACM的面积最大，设过M的直线为y=-x+b,该直线和抛物线是相切的。M点为（-3/2,-15/4),最大的面积为75/8
真的打得我累死了，希望被采纳吧

追问

抱歉，没太看明白。为什么该直线和抛物线相切就能求出M点坐标？

追答

因为这样可以使三角形ACM的面积最大，即高最大

追问

嗯。。我只是想知道是怎么通过这个解析式求出M点的。。

追答

相切的话就应该只有一个解了，就是把y=-x+b代入抛物线方程中，只能得到一个根（用判定式），就求出b了，然后就可以得到M的坐标了