Question

6年级奥数，求解答过程，答案我知道，是11520，就是不知怎么求出来的。过程好的加分(⊙o⊙)哦。

从自然数1,2,3,4,5,6,7,8,9中每次可取出1个数，2个数，3个数，……，9个数，先求每次取出数的和，再求出所有和的总和，请你求出这个总和是多少？

Answer 1

每次可取出1个数,任何数参加1次
每次可取出2个数，任何数参加8次（如1，出现在12,13,14,15,16,17,18,19中）
每次可取出3个数，任何数参加28次（固定该数，其他8个数两两组合有8*7/2=28种）
每次可取出4个数 ，任何数参加56次 （固定该数其他8个数三三组合有8*7*6/（1*2*3）=56种）
类似，每次可取出5个数 ，任何数参加70次 （8个数四四组合有8*7*6*5/（1*2*3*4）=70种）
每次可取出6个数 ，任何数参加56次
每次可取出7个数 ，任何数参加28次
每次可取出8个数 ，任何数参加8次
每次可取出9个数 ，任何数参加1次
所以每个数均出现1+8+28+56+70+56+28+8+1=256次
(1+2+3+4+5+6+7+8+9)*256=45*256=11520

还有另外一种思路，就是考虑1,2,3,4,5,6,7,8,9的任意数选择出现还是不出现，有几个数出现就是相当于取出这几个数的一次记录。对1,2,3,4,5,6,7,8,9的任意数选择出现还是不出现，出现的可能组合为2的9次方共512种情况，可以证明任意数出现的256，不出现的也是256次（因为他们是一一对应的），所以总和为(1+2+3+4+5+6+7+8+9)*256=45*256=11520

Answer 2

分析：问题关键在于每个数字出现多少次。先取一个元素ai，再取剩余的元素。
解：若共取1个元素，则剩余的元素共有8C0种取法，所以每个元素出现8C0次；
若共取2个元素，则剩余的元素共有8C1种取法，所以每个元素出现8C1次；
……
若共取9个元素，则剩余的元素共有8C8种取法，所以每个元素出现8C8次。
因此每个元素共出现∑（8Ci）次，i=0,1，……，8
求和得2^8=256次
因此总和为（1+2+……+9）×256=45×256=11520

nCr是组合数，别告我你没学