Question

已知函数f(x)=ax^3-3/2x^2+1(x属于r),其中a>0 ,若在区间[-1/2,1/2]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围

求用分离变量方法的详解~~~O(∩_∩)O谢谢各位啦~~~

Answer 1

区间[-1/2,1/2]上，f（x）＞0恒成立
即ax^3-3/2x^2+1>0 ，ax^3>3/2x^2-1>0恒成立
x=0时，a∈R
x∈[-1/2,0)时，a<3/2*1/x-1/x^3恒成立
设g(x)=3/2*1/x-1/x^3
g'(x)=-(3/2)/x^2+1/x^4=(1-3/2x^2)/x^4
=-3/2(x^2-2/3)/x^4
∵x∈[-1/2,0)∴x^2-2/3<0,g('x)>0
∴g(x)递增，g(x)min=g(-1/2)=8
∴a<8
x∈(0,1/2]时，a>3/2*1/x-1/x^3恒成立
同样 g(x)递增，g(x)max=g(1/2)=-8
∴a>-8
（将上述3种情况取交集）
∴对任意x∈[-1/2,1/2]，f（x）＞0总成
立的a的范围是(-8,8)

Answer 2

将x=0带入f（x）得y=1。求导得3ax^2+3x。导函数恒过原点，且△>0，所以在x=0上取得极大值。所以只要将x=-1/2和x=1/2带入f(x)中，使它们大于零便可。