Question

一个定积分和一个微分方程的题，谢谢了

积分上限是3，麻烦大家了，要计算过程哈！谢谢！！！

Answer 1

1。计算定积分[0，3]∫arctan(√x)dx
解：令arctan(√x)=u，则√x=tanu，x=tan²u，dx=2tanusec²udu； x=0时u=0；
x=3时u=arctan(√3)=π/3；代入原式得：
原式=[0，π/3]∫2utanusec²udu=[0，π/3]∫ud(sec²u)=[usec²u-∫sec²udu]︱[0，π/3]
=[usec²u-tanu]︱[0，π/3]=(π/3)/(1/2)²-√3=(4π/3)-√3
2.求微分方程y′cotx-ycosx=2x(cotx)e^(-cosx)的通解
解：y′/tanx-ycosx=2x(cotx)e^(-cosx)
两边同乘以tanx得：y′-ysinx=2xe^(-cosx)...........................(1)
为了求解方程(1)，先考虑齐次线性方程dy/dx-ysinx=0........(2)
分离变量得dy/y-sinxdx=0
积分之得lny=-cosx+lnC₁，即得(2)的通解：y=C₁e^(-cosx)；
下面用参数变易法来求原方程(1)的解。这个方法就是就是将(2)的通解中的C₁换成x的函数u而令
y=ue^(-cosx)...........(3)
将(3)对x取导数得dy/dx=(du/dx)e^(-cosx)+u[e^(-cosx)]sinx........(3′)
将(3)和(3′)代入(1)式得：(du/dx)e^(-cosx)+u[e^(-cosx)]sinx-u[e^(-cosx)]sinx=2xe^(-cosx)
化简得(du/dx)e^(-cosx)-2xe^(-cosx)=0
[e^(-cosx)][du/dx-2x)=0，由于对任何x，e^(-cosx)≠0,故必有du/dx-2x=0，即有du=2xdx
积分之得u=x²，代入(3)式即得原方程的通解为：y=x²e^(-cosx)+C

Answer 2

第一题的积分上限看不清楚 ，我没法帮你，不过我提示一下：
令t=sqrt(x), 换元后再后分布积分法就可以求得了。
第二题是先等式两边同除以cotx, 再直接利用一阶线性微分方程的公式得到的。你试试看
其中公式中P(x)=-sinx， Q(x)=2xe^(-cosx)
如果你还是没有理解，那就再联系我。

追问

很感谢你哈，积分上限是3，麻烦你可以给我个过程吗，第一题我按照换元法做了，但是和答案不一样！！

追答

答案是对的，具体见图片。

Answer 3

高数问题建议多看几遍书

追问

看很多遍了。。。哎

Answer 4

看不清，不好意思

追问

点击图片，放大，谢谢！

追答

.积分是从0积到哪里