Question

已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（

为啥最后面积是1/2AC ×BD。是四边形面积公式么？记得没这个公式啊 求详解

Answer 1

由圆方程得：(x-3)^2+(y-4)^2=5^2，则圆心O(3,4)，半径r=5
AC长为过点(3,5)和点O的圆的直径d=2*5=10，k=(4-5)/(3-3)不存在，AC为垂直直线
BD应与AC垂直为水平线y=5 ②
②代入①得：x^2-6x-15=0
x=3±2√6
BD=3+2√6-(3-2√6)=4√6
则四边形ABCD面积=AC.BD=5×4√6=20√6

设:AC与BD相交于点E，且AC⊥BD
△ABD面积=1/2BD·AE
△BCD面积=1/2BD·CE
四边形ABCD面积=△ABD面积+△BCD面积
=1/2BD·AE+1/2BD·CE
=1/2BD(AE+CE)
=1/2BD·AC
明白没？
有些解题技巧需要自己推导公式，并记住，可以加快解题速度
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Answer 2

对角线互相垂直的四边形的面积为两对角型乘积的一半.
证明很简单,连接两条对角线后,两条对角线把四边形分为两个小的直角三角形.分别求出两个个三角形的面积,相加后再化简即可证明.
该圆的圆心为(3,4),半径为5
最长弦即为直径,从而得到AC=10
最短线为与直径垂直的弦,从而得到BD=2√(5²-1²)=4√6
所以四边形ABCD的面积为AC×BD/2=20√6

Answer 3

x^2+y^2-6x-8y=0
x^2-6x+9+y^2-8y+16=25
(x-3)^2+(y-4)^2=25
过该点的最长弦是直径，最短弦是与直径垂直的弦。
设ACBD相交于点F，
那么四边形面积就可以变成△ABD的面积+△CBD的面积。
△ABD=1/2*BD*AF
△CBD=1/2*BD*CF
相加=1/2*BD*(AF+CF)=1/2*AC*BD
最长弦AC为圆的直径=10
BD=……