Question

关于极限的问题

关于极限的问题lim 1-cosx，当x趋向于0+时，极限存在等于0，但是当x趋向于0-时，极限不等于0。请问这是为什么

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Answer 1

你确定这是完整问题・_・?
不是问题中取一截出来？
就1-cosx来说，0+0-极限都是0

追问

这个是原题

a答案，在如图所示的情况下，1-cosh，当h趋向0-的时候，不能得到极限存在。h趋向0+的时候可以得到极限存在，这是为什么

追答

应该是三角函数性质，
cosh≤1，所以f(1-cosh)就是f(0+)，也就是Δh有局限了，它只有0+，而导数定义里的Δh趋于零，是包含0+和0-的，所以A选项只有0+的部分，它不能说明Δh为0-时极限存在

追问

是的，老师说cosh小于等于1有界，一开始我不理解，现在理解了

Answer 2

就从你这问题来说，这不可能。
是个分段函数吧？

追问

不是

追答

如果不是分段函数，1-cosx 在 x = 0 的左右极限都是 0 。

追问

如图是原题。把A化简，老师说1-cosh分之f（0+1-cosh）-f（0） 这一段，1-cosh，当h趋向于0+时可以证明极限存在，但是h趋向于0-时极限不存在

我不知道这是为什么，h趋向0+时1-cosh趋向0，h趋向0-时1-cosh就不趋向0了

追答

是你理解错了。
f ' (0) 存在，就是 f(h)/h 极限存在。注意这需要 h 是左右都趋于 0 。
题目把无穷小 h 用 1-cosh 代替，要求 f(1-cosh) / (1-cosh) 存在 。
这就不满足 f(h)/h 中 h 左右都趋于 0 的条件。因为 1-cosh ≥ 0 不可能是负数 。
虽然 1-cosh 中 h 可正可负，但 1-cosh 不可能是负数，
相当于 f(h)/h 只存在右导数 。

追问

哦哦，原来是这个意思，我只关注1-cosh去了，谢谢！