Question

如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，-1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点

Answer 1

解：（1）抛物线的顶点坐标为Q(2,-1)
所以 x=-b/2a=2 得 b= -4a
y=-b²/4a+c=-1 得 4a=c+1
点c（0,3）在抛物线上 得 c=3
得a=1 b=-4
所以抛物线方程为y=x²-4x+3
（2）当 y=0时 x²-4x+3=0 解得 x1=3 ，x2=1
所以由题意得A(3,0) ,B(1,0)
所以AC的直线方程为 x+y=3
设P(x,y)
因为PD‖y轴 所以D的横坐标为x
所以D（x，3-x）
ΔADP是直角三角形时
所以①当∠DPA=90°P与B重合 为（1,0）
②当∠DAP=90时
向量 AP=(3-X,-y) 向量AD=(3,-3)
所以 9-3x+3y=0 得 y-x+3=0
在抛物线上 所以 x²-5x+6=0
得x1=2 或x2=3（舍去，P与A不重合）
所以 P(2，-1)
(3)
①当P（1,0）时不存在以APEF为顶点的平行四边形
②当P(2，-1)
设 E(k,0) F（x2,y2）
向量AP=(1,1) 向量FE=(x2-k,y2)

1×y2－1×(x2-k)=0 得y2=x2-k 注：平行四边形对边平行

2=（x2-k）²+y2 ² 所以y2 ²=1 注：平行四边形对边相等

当y2=1时y=x²-4x+3=1 得x ²-4x+2=0
解得x=（4±√8）/2=2±√2
当x=2-√2 k=x2-y2=2-√2-1=1-√2
当x=2+√2时 k=x2-y2=2+√2-1=1+√2
当y2=-1时 只有一点 舍去
所以F坐标为 （2-√2,1）或（2+√2,1）

Answer 2

-b/2a=2 (1)
(4ac-b^2)/4a=-1 (2)
c=3 (3)
由(1)(2)(3)得，
a=1,b=-4
所以抛物线方程为
y=x²-4x+3
令x²-4x+3=0，解得
x=1,x=3
所以A，B两点的坐标分别为（1,0），（3,0）。

Answer 3

②当∠DAP=90时
向量 AP=(3-X,-y) 向量AD=(3,-3)
所以 9-3x+3y=0 得 y-x+3=0
在抛物线上 所以 x²-5x+6=0
得x1=2 或x2=3（舍去，P与A不重合）
所以 P(2，-1)

Answer 4

解：（1）∵抛物线的顶点为Q（2，-1），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-1，
将C（0，3）代入上式，得：
3=a（0-2）2-1，a=1；
∴y=（x-2）2-1，即y=x2-4x+3；

（2）分两种情况：
①当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合；
令y=0，得x2-4x+3=0，解得x=1，x=3；
∵点A在点B的右边，
∴B（1，0），A（3，0）；
∴P1（1，0）；
②当点A为△APD2的直角顶点时；
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠OAD2=45°；
当∠D2AP2=90°时，∠OAP2=45°，
∴AO平分∠D2AP2；
又∵P2D2∥y轴，
∴P2D2⊥AO，
∴P2、D2关于x轴对称；
设直线AC的函数关系式为y=kx+b（k≠0）．
将A（3，0），C（0，3）代入上式得：
3k+b=0b=3，
解得k=-1b=3；
∴y=-x+3；
设D2（x，-x+3），P2（x，x2-4x+3），
则有：（-x+3）+（x2-4x+3）=0，
即x2-5x+6=0；
解得x=2，x=3（舍去）；
∴当x=2时，y=x2-4x+3=22-4×2+3=-1；
∴P2的坐标为P2（2，-1）（即为抛物线顶点）．
∴P点坐标为P1（1，0），P2（2，-1）；

（3）由（2）知，当P点的坐标为P1（1，0）时，不能构成平行四边形；
当点P的坐标为P2（2，-1）（即顶点Q）时，
平移直线AP交x轴于点E，交抛物线于F；
∵P（2，-1），
∴可设F（x，1）；
∴x2-4x+3=1，
解得x=2-2，x=2+2；
∴符合条件的F点有两个，
即F1（2-2，1），F2（2+2，1）．

Answer 5

同求