Question

2012全国初中数学竞赛福建赛区

2012全国初中数学竞赛福建赛区倒数第二题的答案
题目为:a、b是整数，a-b为素数，ab为完全平方数，当a大等于2012时，求a的最小值？

Answer 1

a=2017
设ab=p^2,a-b=n;（a-b)^2+4ab=(a+b)^2;n^2+4p^2=(a+b)^2.设a+b=c则n^2+4p^2=c^2.
n^2=(c-2p)(c+2p)因为n是质数,所以2c=n+n or n^+1
c=n时，a=n 所以a=2017,b=0
2c=n^+1时，因为2a=c+n所以4a=(n+1)^2 因为a大于2012所以n至少为89此时a=2025
综上，a=2017

Answer 2

假设A = (M+1)*P、B = M*P，A-B = P是素数的情况时，因M+1、M互质。
A*B = P*M*(M+1) 不可能为完全平方数。排除这种假设。

因此由题意，A、B应分别是完全平方数、A-B为一素数。
A = M²
B = N²
M、N互质
A - B = (M+N)(M-N)=质数=M+N
则M-N = 1

√2012 = 44.8，则从M > 44.8的取值中使得
M+N = M+M-1 = 2M-1为质数的数M最小 = 45

因此大于2012的A最小时有A = 45*45 = 2025
B = 44*44=1936

Answer 3

我写了a=3600.。。。不知对不

Answer 4

是2025 和天津的相同