Question

几道道数列极限有关的题

圈出来的题我想了几天了，没一道会的。我们学校还没开始正式上课，所以只能求助啦。好心人帮看看这4道怎么做。

Answer 1

第八题用不等式判断a（n+1）/an与1的大小关系，进而判断单调性。至于有界性你书上有（1+1/n）^n的有界性, 然后设其收敛于A，证明对于任一e，存在n》N，|（1+1/n）^(n+1)-A|<e，则（1+1/n）^(n+1)也收敛于A
第九题先证明单调递增a（n+1）-an>0，这个很好证。然后证明有界。
你可能用不等式来对lnn进行缩放，但这个不等式只有在x->0时才越来越精确，这样进行缩放才有意义，所以先改变不等式。用x=1/n代入得
1/(n+1)<ln(1+1/n)=ln((n+1)/n)<1/n
所以an<1+ln(2/1)+ln(3/2)+……+ln(n/n-1)-lnn=1,所以收敛
第十题
第一问先证明存在M，当n>M时，2^n/n!<4/n^2
则存在n>N,m>N, (假设m>n）满足
|xm-xn|<4/n^2+……+4/m^2<e(这个用什么不等式证明之后补充）
第三问用反证法，假设收敛，则存在N, 使得对任意e，n>N，2n>N，都有
|x2n-xn|<e
但是|x2n-xn|=1/2n+1+1/2n+3+……+1/2n+2n-1>1/(2n+2n-1)+1/(2n+2n-1)+……+1/(2n+2n-1)=n/(2n+2n-1)>1/4与假设矛盾，所以发散
这个主要拿一般项和1/n^p比较，看p与1的关系，大于1收敛，

追问

纠正一下，我刚刚没看到后三题的解答。第九题和第十题第二问还是谢谢了。

追答

纠正了什么，你有标准答案吗，我虽然有思路，但写的不完善，我想看标准答案。

追问

另外，第十题第三问可不可以这么放缩:分母全换成2n+1,式子n/2n+1＜ε，但即使N取1，即n取2，该式也有最小值2/5，取ε＜2/5的值，进而与ε的任意性矛盾

追答

可以这样缩放

Answer 2

首先借一块钱，跑到附近的杂货店买个打火机，一点问题就解决了

Answer 3

我还是小学生