Question

高数题 求方程2yy''=y'^2+y^2满足条件y(0)=1,y'(0)=-1的特解

高数题 求方程2yy''=y'^2+y^2满足条件y(0)=1,y'(0)=-1的特解求方程2yy''=y'^2+y^2满足条件y(0)=1,y'(0)=-1的特解

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

设y'=p(y),则y''=dp/dy*p,
方程2yy''=y'^2+y^2化为2pyp'=p^2+y^2,①
由2pyp'=p^2得2p'/p=dy/y,
2lnp=lny+lnc,
p^2=cy,p=土√(cy),
设p=土√[yc(y)],则p'=土[c(y)+yc'(y)]/{2√[yc(y)]},
代入①，y[c(y)+yc'(y)]=yc(y)+y^2,
所以c'(y)=1,
c(y)=y+c,
所以y'=土√(y^2+cy),y'(1)=-1,
所以-1=-√(1+c),c=0.
所以y'=-y
所以,y=e^(-x)+c1,
y(0)=1,所以c1=0,
所以y=e^(-x).

追问

谢谢

但是我能再问下下图中这种方法横线地方怎么来的吗？

追答

方程①不含x,

Answer 3

用化成常微分方程方法会更快，感觉书本的解释不理解。

Answer 4

当u=1,-1时即为常数，du/dy=0恒成立，等式左边为零，等式右边也恒为零