Question

这个函数的n阶导数怎么表示，要过程，

如图

Answer 1

ln(1+x)的泰勒展开为
ln(1+x)=x-(x^2)/2+(x^3)/3-(x^4)/4+.......+(-1)^(n-1)(x^n)/n+O(x^(n+1))
所以
x²ln(1+x)=x³-(x^4)/2+(x^5)/3-(x^6)/4+.......+(-1)^(n-1)(x^(n+2))/n+O(x^(n+3))
该函数的n(n≥3)阶导数在x=0的值
x的次方＜n的项在n次求导后全部变成0，x的次方＞n的项会带有x，所以也为0
因此
只需要考虑x^n，该项在展开中为(-1)^(n-3)(x^n)/(n-2)
n阶导数为(-1)^(n-3)*n!/n=(-1)^(n-1)*n!/(n-2)
所以答案为(-1)^(n-1)*n!/(n-2)

追问

你把它展开后，把里面的n都 减了2，为什么，减了2确实可以变成答案，我想知道为什么

追答

ln(1+x)=x-(x^2)/2+(x^3)/3-(x^4)/4+.......+(-1)^(n-1)(x^n)/n+O(x^(n+1))
再乘以x²得
x²ln(1+x)=x³-(x^4)/2+(x^5)/3-(x^6)/4+.......+(-1)^(n-1)(x^(n+2))/n+O(x^(n+3))
注意每一项都乘了x²，所以ln(1+x)的x^(n-2)项变成了x²ln(1+x)的x^n项
而ln(1+x)的x^(n-2)项的系数为(-1)^(n-3)*1/(n-2)
所以x²ln(1+x)的x^n项的系数为(-1)^(n-3)*1/(n-2)

追问

我知道原式展开式变成了①，那么①是怎么变成②的，（是不是n-2）

追答

不知道你是怎么理解的
第一，②不是①变来的。①求n阶导求出来是(-1)^(n-1)*(n+2)!*x²/(2n)
第二，非要用①的话，②是由①推导出来，你把①当做一个数列的第(n+2)项，A(n+2)=(-1)^(n-1)*x^(n+2)/n，所以An=(-1)^(n-3)*x^n/(n-2)。An是我们需要求出来的
第三，标准的求法是我上一个追答的方法，我们要求的是x²ln(1+x)的x^n项的系数，所以就是求ln(1+x)的x^(n-2)项的系数

追问

，划线的我看不懂，还有原式展开成①，再把x^2弄进去就变成了②，对②求n阶导就变成了③，那然后我就不知道了

追答

我这么写 你能看懂么

追问

你这了为什么要分成两个，还有小圈圈怎么变的

追答

求x^i的n阶导数，当i≤n-1时，x^i的n阶导数为0
所以我分开的第一个Σ是i≤n-1的x^i的求和，
第二个Σ是i≥n的x^i的求和。
接下来就是对第二个Σ里面求导，第二个Σ里面只有三项，分开一个一个求就好了
小圈圈就是正常操作吧，一开始Σ是从第一项到第n项求和
可以分开成为两个Σ，第一个Σ是从第一项到第n-3项求和，第二个是第n-2项到第n项求和

追问

我之前不知道级数也可以像积分那样，可以分开，，，1.你下面写的当i<=n-3时，是不是就是根据方框第一项的下面小于上面。2.x^n-1次求n介导，就是（n-1）！/x,可是x在分母了，按照你后面，在x=0的导数，不是应该分母不为0么。3.那后面为什么要求在x=0处的n介导。

追答

？你没有发全么

追问

还是之前的图

追答

第一个问题，是的(非要深究的话n=3要分开讨论，因为n=3的时候没有第一个Σ)

第二个问题，我有点怀疑你的水平了。。。比如x²的1阶导数是2x，二阶导数是2，三阶导数是0，四阶导数还是0，以后都是0。何来的1/x????lnx的导数才是1/x
第三个问题，你的原问题不是f^(n)(0)么？？？我就是按照顺序先求的f^(n)(x)然后再把x=0代入得

追问

好的我知道了，还有没有别的方法

追答

简单粗暴的方法就是直接求导，大概求到3阶导数之后可以找规律。计算比较复杂，请自行计算