Question

这道高数题

Answer 1

三条直线交于一点的充要条件是由三个直线方程组成的方程组有唯一解
即
ax+2by=-3c
bx+2cy=-3a
cx+2ay=-3b
有唯一解
则其充要条件为
r(A)=r(A,b)=n=2
故增广矩阵的行列式|A,b|=0, 即
|a 2b -3c|
|b 2c -3a| = 0
|c 2a -3b|
=> 6(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)=0
=> 3(a+b+c)[(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²]=0
∵三条直线不共线
∴(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²≠0
∴a+b+c=0

Answer 2

三条直线交于一点的充要条件是由三个直线方程组成的方程组有唯一解即 ax+2by=-3c bx+2cy=-3a cx+2ay=-3b 有唯一解则其充要条件为 r(A)=r(A,b)=n=2 故增广矩阵的行列式|A,b|=0, 即 |a 2b -3c| |b 2c -3a| = 0 |c 2a -3b| => 6(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=0 => 3(a+b+c)[(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2]=0 ∵三条直线不共线 ∴(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2≠0 ∴a+b+c=0