Question

已知函数f（x）=xlnx

1.求f（x）的最小值。
2.若对所有x大于等于1都有f（x）大于或等于ax减1，求实数a的取值范围。
求答案，，，

Answer 1

解：
(1)
对函数f(x)=xlnx求导得：
f'(x)=lnx+1
令lnx+1=0,x=1/e
当x>1/e时,f'(x)>0
当0<x<1/e时,f'(x)<0
所以f(x)先减后增，最小值为f(1/e)=-1/e

(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1
则a≤[f(x)+1]/x,
则a≤[f(x)+1]/x的最小值
以下求[f(x)+1]/x的最小值
令g(x)=[f(x)+1]/x=(xlnx+1)/x=lnx+1/x
求导得g'(x)=1/x-1/x^2=(x-1)/x^2
令(x-1)/x^2=0,则x=1
当x>1时，g'(x)>0，即g(x)在x≥1时单调递增，最小值为g(1)=1
所以a≤1

Answer 2

解： (1) f'(x)=lnx+1 （x>0)令lnx+1=0,x=1/e
当x>1/e时,f'(x)>0
当0<x<1/e时,f'(x)<0
f(x)极小值即最小值为f(1/e)=-1/e

(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1
则a≤[f(x)+1]/x对x≥1恒成立，则a≤[f(x)+1]/x的最小值
令g(x)=[f(x)+1]/x=(xlnx+1)/x=lnx+1/x
g'(x)=1/x-1/x^2=(x-1)/x^2
令(x-1)/x^2=0,则x=1
当x>1时，g'(x)>0，即g(x)在x≥1时单调递增，最小值为g(1)=1
所以a≤1