Question

求解微分方程(x²＋y²＋x)dx＋xydy＝0

哪位大神给算一下，谢谢啦。

Answer 1

方程可化成
ydy/dx=-y²/x -x-1
d(y²)/dx=-2y²/x -2x-2
令z=y²
则dz/dx=-2z/x -2x-2(*)
先求对应的齐次方程dz/dx=-2z/x
dz/z=-2dx/x
ln|z|=-2ln|x|+ln|C|
z=C/x²
由常数变易法，令z=C(x)/x²
代入方程(*)得
C'(x)=-2x^3 -2x²
C(x)=-½x^4 -2x^3 /3 +C
故方程(*)的通解为z=-x²/2 -2x/3 +C/x²
故原方程的通解为
y²=-x²/2 -2x/3 +C/x²
6x²y²+3x^4 +4x^3 =C