Question

希望过程详细一下 谢谢

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Answer 1

如图所示，连接AF，过点D作DG⊥AB。

因为∠ACB=90°，EF⊥BD，所以∠EFB=∠ACB=90°，

又因为BD是∠ABC的角平分线，有∠ABD=∠CBD，

所以在△BEF和△BCD中有∠BEF=∠BDC，而由AE=AD可知∠AED=∠ADE，

所以∠FED=∠FDE，即△DEF为等腰直角三角形，有∠FED=∠FDE=45°，DE=EF，

再由AF=AF可得△AEF≌△ADF（SSS），可知AF平分∠BAC，

则点F为△ABC的内心，所以CF平分∠ACB，即有∠ACF=∠BCF=45°，

由“角平分线上的点到角两边的距离相等”可知若CD=4，则CD=GD=4，

又因为AE=AD=5，所以S△ADE=AE×DG÷2=5×4÷2=10，

在直角△BCD中设∠CBD=x，则∠BDC=90°-x，∠CFD=∠CBD+∠BCF=x+45°，

当CD=CF时，∠CDB=∠CFD，即90°-x=x+45°，解得x=22.5°，

所以当且仅当∠CBD=x=22.5°时CD=CF，

综上所述，结论①错误，结论②③④正确，选C。