Question

高数，线性代数。求详细过程！

练习4.7

Answer 1

解：设
k1(Lα2-α1)+k2(mα3-α2)+k3(α1-α3)＝0. ①
则有
(k3-k1)α1+(Lk1-k2)α2+(mk2-k3)α3＝0.
因为α1、α2、α3线性无关，所以由上式有方程组
-k1+ k3＝0，
Lk1-k2 ＝0， ②
mk2-k3＝0.
Lα2-α1、mα3-α2、α1-α3线性无关的充要条件是①的系数k1、k2、k3全为零，而关于k1、k2、k3的齐次线性方程组②只有零解的充要条件是其系数矩阵的行列式＝0.因此，Lα2-α1、mα3-α2、α1-α3线性无关的充要条件是三行元素分别为
-1 0 1
L -1 0
0 m -1
的行列式＝0，即Lm-1＝0。
即当Lm-1＝0时，三向量Lα2-α1、mα3-α2、
α1-α3线性无关。

Answer 2

此题用矩阵的表达形式来证明最为方便。
因为
(la2-a-,ma3-a2,a2-a3)=(a1,a2,a3)A

其中A=
-1 0 0
l -1 0
0 m -1
因为|A|=m-1
所以当m不等于1时，矩阵A的行列式不等于零，此时矩阵A可逆，故当m不等于1，L为任意值时，给出的三个向量也线性无关。