怎么求隐函数的积分?

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蓝雪儿老师
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2021-07-22 · 愿千里马,都找到自己的伯乐!
蓝雪儿老师
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由(x-y)^2=cos^2(α);1-x/y=sin^2(α) 。

解得:x=sinα(1+1/cos^2(α));y=sinα/cos^2(α)
原积分I=∫dx/(x-3y) 。

=∫[cosα(1+1/cos^2(α))+sinα*(-2)*cos^(-3)(α)*(-sinα)]/[sinα+sinα/cos^2(α)-3sinα/cos^2(α)]dα 。

=∫[cos^4(α)+cos^2(α)+2sin^2(α)]/[sinαcosα(cos^2(α)-2)]dα。

隐函数求导法则:

对于一个已经确定存在且可导的情况下,可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。在方程左右两边都对x进行求导,由于y其实是x的一个函数,所以可以直接得到带有 y' 的一个方程,然后化简得到 y' 的表达式

隐函数导数的求解一般可以采用以下方法:

方法①:先把隐函数转化成显函数,再利用显函数求导的方法求导;

方法②:隐函数左右两边对x求导(但要注意把y看作x的函数);

方法③:利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导,再通过移项求得的值;

方法④:把n元隐函数看作(n+1)元函数,通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。

举个例子,若欲求z = f(x,y)的导数,那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z) = 0的形式,然后通过(式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数)来求解。

教育小百科达人
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知道大有可为答主
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过程如下:

由(x-y)^2=cos^2(α);1-x/y=sin^2(α) 

解得:x=sinα(1+1/cos^2(α));

y=sinα/cos^2(α)

原积分I=∫dx/(x-3y) ;

=∫[cosα(1+1/cos^2(α))+sinα*(-2)*cos^(-3)(α)*(sinα)]/[sinα+sinα/cos^2(α)-3sinα/cos^2(α)]dα

=∫[cos^4(α)+cos^2(α)+2sin^2(α)]/[sinαcosα(cos^2(α)-2)]dα

扩展资料:

设F(x,y)是某个定义域上的函数。如果存在定义域上的子集D,使得对每个x属于D,存在相应的y满足F(x,y)=0,则称方程确定了一个隐函数。记为y=y(x)。显函数是用y=f(x)来表示的函数,显函数是相对于隐函数来说的。

若欲求z = f(x,y)的导数,那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z) = 0的形式,然后通过(式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数)来求解。

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Dora101514
2019-12-11 · TA获得超过955个赞
知道小有建树答主
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如图,要求解隐函数的积分,先要用极坐标把x和y都表示出来,代入原来的隐函数,再用极坐标进行积分计算。然后再把极坐标换成直角坐标就可以了。

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