Question

在梯形ABCD中，AD‖BC(BC>AD),∠D=90°，BC=CD=12,E点在边DC上，∠ABE=45°。若AE=10,求CE的长。

Answer 1

解：过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，

延长DM到G，使MG=CE，连接BG，

易知四边形BCDM是正方形，

所以BC=BM，∠C=∠BMG=90°，EC=GM，

∴△BEC≌△BMG（SAS），

∴BG=BE，∠ABE=∠ABG=45°，

∴△ABE≌△ABG，AG=AE=10，

设CE=x，则AM=10-x，

AD=12-（10-x）=2+x，DE=12-x，

在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2，

∴100=（x+2）2+（12-x）2，

即x2-10x+24=0；

解得：x1=4，x2=6．

故CE的长为4或6．

Answer 2

解：过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，
延长DM到G，使MG=CE，连接BG，
易知四边形BCDM是正方形，
所以BC=BM，∠C=∠BMG=90°，EC=GM，
∴△BEC≌△BMG（SAS），
∴BG=BE，∠ABE=∠ABG=45°，
∴△ABE≌△ABG，AG=AE=10，
设CE=x，则AM=10-x，
AD=12-（10-x）=2+x，DE=12-x，
在Rt△ADE中，AE²=AD²+DE²，
∴100=（x+2）²+（12-x）²，
即x²-10x+24=0；
解得：x1=4，x2=6．
故CE的长为4或6．