Question

一个高数小问题：设函数f（x）连续，它在x=0处导数为正，则存在d>0使得f（x）在（0，d）中单调增成立。

这个命题为什么错？

Answer 1

反例：设f(x)为一分段函数f(x)=x²sin(1/x)+0.00001*x x≠0 1 x=0先求该函数在x=0处的导数lim(x-->0) [f(x)-f(0)]/x=lim(x-->0) xsin(1/x)+0.00001=0.00001>0函数在x=0处导数大于0.（此处系数之所以用0.00001这么小的数字，主要是为了图象看着比较明显，其实这里是个正数就行。）下面是该函数图像：x∈[-0.0001,0.0001]可看到在x=0附近函数值振荡：

Answer 2

我认为该命题错误的引用了函数极限的局部保号性,由题意可知函数f连续且f'(0)存在,f'(0)>0,但却没有给出f'(x)是否连续,也就得不到f'(0)在x=0这一点的极限是否存在,若极限存在则该命题成立,若极限不存在该命题不成立

Answer 3

这个我怎么觉得是对的啊？应该能证明出来吧？

追问

额，我也觉得对，但是同济六版高数星火辅导上说它错，还没解释