Question

已知函数f(x)=(x^3-x) /3，数列{an}满足a1>=1，an+1>=f'(an+1)证明an>=（2^n）-1

打错了，是f(x)= （x^3/3）-x

Answer 1

证：
f'(x)=x²-1
a(n+1)=(an +1)²-1=an²+2an=an(an+2)
a1≥1 a1-(2-1)=a1-1≥0，不等式成立。
假设当n=k(k∈N+)时，不等式，即ak≥2^k -1，则当n=k+1时，
a(k+1)=ak(ak+2)≥(2^k -1)(2^k -1+2)=2^(2k)-1
k≥1 2k-k≥1 2k≥k+1
a(k+1)≥2^(k+1)-1
不等式同样成立。
综上，得an≥2ⁿ-1。