Question

线性代数基础，求解如图逆矩阵问题

Answer 1

这是一个分块对角矩阵问题，

对于分块对角矩阵，只要看它的每个对角子块是否可逆，如果可逆，则只需求出每个子块的逆矩阵就可以了。

该题中，很容易看出，每个对角子块的行列式都不为0，故都可逆，于是只要求两个二阶矩阵的逆就可以了。

而二阶矩阵求逆可以用两换一除直接写出来。

故矩阵的逆为：

Answer 2

A =
[B O]
[O C]
其中 B =
[1 2]
[2 -1]
C =
[1 0]
[3 2]
B^(-1) = (-1/5)*
[-1 -2]
[-2 1]
=
[1/5 2/5]
[2/5 -1/5]
B^2 = 5E, B^4 = 25E
C^(-1) = (1/2)*
[ 2 0]
[-3 1]
=
[ 1 0]
[-3/2 1/2]
C^2 =
[1 0]
[9 4]
C^4 =
[1 0]
[45 16]
A^(-1) =
[B^(-1) O]
[O C^(-1)]
=
[1/5 2/5 0 0]
[2/5 -1/5 0 0]
[ 0 0 1 0]
[ 0 0 -3/2 1/2]
|A^T| = |A| = |B||C| = (-5)2 = -10
A^4 =
[B^4 O]
[O C^4]