Question

求函数f(x)=sinx(1+cosx)在区间[0,2π]上的最大值与最小值

求函数f(x)=sinx(1+cosx)在区间[0,2π]上的最大值与最小值

Answer 1

函数f(x)=sinx(1+cosx)在区间[0,2π]上的最大值与最小值
解析：∵函数f(x)=sinx(1+cosx)
令f’(x)=cosx+(cosx)^2-( sinx)^2=cosx+2(cosx)^2-1=0
∴cosx=-1==>x1=2kπ+π或cosx=1/2==>x2=2kπ-π/3, x3=2kπ+π/3
f’’(x)=-sinx-2sin2x==> f’’(x1)=0, f’’(x2)>0, f’’(x3)<0
∴函数f(x)在x2处取极小值，函数f(x)在x3处取极大值
∵给定区间[0,2π]
∴函数f(x)在5π/3处取极小值-3√3/4，函数f(x)在π/3处取极大值3√3/4

Answer 2

求函数f(x)=sinx(1+cosx)在区间[0,2π]上的最大值与最小值
解：f(x)=sinx(1+cosx)=sinx+(1/2)sin2x
作y₁=sinx和y₂=(1/2)sin2x的图像，然后合成为y=y₁+y₂=sinx+(1/2)sin2x的图像。从合成的图像
不难看出：当x=π/4时f(x)获得最大值f(π/4)=sin(π/4)[1+cos(π/4)]=(√2/2)[1+(√2/2)]=(1+√2)/2；
当x=2π-π/4=7π/4时f(x)获得最小值f(7π/4)=sin(2π-π/4)[1+cos(2π-π/4)]=-sin(π/4)[1+cos(π/4)]
=-(1+√2)/2