Question

以Rt△ABC的三边分别为直径向外作三个半圆，已知以AC为直径的半圆面积为S1，以BC为直径的半圆面积为S2

以Rt△ABC的三边分别为直径向外作三个半圆，已知以AC为直径的半圆面积为S1，以BC为直径的半圆面积为S2,如图①所示.
（1）求以AB为直径的半圆的面积S：
（2）若将图中半圆改为分别以三边为斜边的等腰直角三角形，如图②所示，结论是否仍成立？试猜想.

Answer 1

若角B是直角的话
s1=πR1的平方/2,s2=πR2的平方/2
所以
s=πr的平方/2=π(R1的平方-R2的平方)/2
s=s1-s2
仍成立
因为半圆面积与等腰直角三角形成固定比例,所以无论ABC如何变化,猜想成立

Answer 2

无图，不知道哪条是Rt△ABC的斜边。
（1）以Rt△ABC的三边分别为直径向外作三个半圆，已知以AC为直径的半圆面积为S1，以BC为直径的半圆面积为S2，则有S1=1/2π(AC/2)²=1/8πAC²，S2=1/2π(BC/2)²=1/8πBC²，
以AB为直径的半圆的面积S=1/2π(AB/2)²=1/8πAB²
当AB是Rt△ABC的斜边时，AB²=AC²+BC²，S=S1+S2。
当AC是Rt△ABC的斜边时，AC²=AB²+BC²，S=S1-S2。
当BC是Rt△ABC的斜边时，BC²=AC²+AB²，S=S2-S1。
（2）若将图中半圆改为分别以三边为斜边的等腰直角三角形，有S1=1/2AC²，S2=1/2BC²，
当AB是Rt△ABC的斜边时，AB²=AC²+BC²，S=S1+S2。
当AC是Rt△ABC的斜边时，AC²=AB²+BC²，S=S1-S2。
当BC是Rt△ABC的斜边时，BC²=AC²+AB²，S=S2-S1。
结论仍成立
楼主，打字很累的，望采纳！！！

Answer 3

半圆面积=Pi(三角形边长）^2/4
S=S2-S1

面积任然是边长的平方，满足勾股定理，所以仍然成立