Question

在平面直角坐标系中,一次函数y=-1/2X+5的图象交X轴于点B,与正比例函数y=kx(k≠0）图象交于第一象限内点A。

（1）以O、A、B三点为顶点画平行四边形，求这个平行四边形第四个顶点C的坐标（用k的代数式表示）
（2）若以O、A、B、C为顶点的平行四边形为矩形，求k的值
（3）将（2）中矩形OABC绕点O旋转，使点A落在坐标轴的正半轴上，求所得矩形与原矩形重叠部分的面积。

Answer 1

(1)一次函数y=(-1/2)x+5交X轴于B（10，0），则OB=10;设其与Y轴交于M(0, 5).

把两个函数y=(-1/2)x+5与y=kx联立方程组并解之得:x=5/(k+0.5);  y=5k/(k+0.5).

则点A的坐标为(5/[k+0.5], 5k/[k+0.5]).

作AD垂直OB于D,CH垂直OB于H,由四边形OABC为平行四边形可知:

CH=AD=5k/(k+0.5),BH=OD=5/(k+0.5),OH=OB-BH=10-5/(k+0.5)=10k/(k+0.5).

∴点C的坐标为(10k/[k+0.5], 5/[k+0.5]).

(2)若四边形OABC为矩形,则⊿ODA∽⊿ADB∽⊿MOB.

则AD/OD=BO/MO=10/5=2,AD=2OD,即5/(k+0.5)=2[5/(k+0.5)], k=2.

(3)k=2时: 5/(k+0.5)=2;     5k/(k+0.5)=4.即点A为(2,4).

①当点A落在Y轴正半轴上的A'处时(如中图):

OA=√(OD²+AD²)=2√5;AB=√(OB²-OA²)=4√5=A'B'.

把x=4√5代入y=(-1/2)x+5,得:y=(-1/2)×4√5+5=5-2√5.则C'E=5-2√5;BC'=2C'E=10-4√5.

∴S重叠(OAEC')=S⊿OAB-S⊿BC'E=10*4/2-(10-4√5)*(5-2√5)/2=40√5-70;

②当点A落在X正半轴上的点A'处时(如右图):

设A'B'交OC于F.则OA'=OA=2√5,同理由⊿OA'F∽⊿OCB可知:

OA'/A'F=OC/CB=(4√5)/(2√5)=2,则OA'=2A'F,A'F=OA'/2=√5.

∴S重叠(OA'F)=OA'*A'F/2=(2√5)*(√5)/2=5.

追问

不对啊 图不对 过程和答案也不对

追答

第(2)问更改如下:
(2)若四边形OABC为矩形,则⊿ODA∽⊿ADB∽⊿MOB.
则AD/OD=BO/MO=10/5=2,AD=2OD,即5/(k+0.5)=2[5/(k+0.5)], k=2.
(3)k=2时: 5/(k+0.5)=2; 5k/(k+0.5)=4.即点A为(2,4).
①当点A落在Y轴正半轴上的A'处时(如中图):
OA=√(OD²+AD²)=2√5;AB=√(OB²-OA²)=4√5=A'B'.
把x=4√5代入y=(-1/2)x+5,得:y=(-1/2)×4√5+5=5-2√5.则C'E=5-2√5;BC'=2C'E=10-4√5.
∴S重叠(OAEC')=S⊿OAB-S⊿BC'E=10*4/2-(10-4√5)*(5-2√5)/2=20√5-25;
②当点A落在X正半轴上的点A'处时(如右图):
设A'B'交OC于F.则OA'=OA=2√5,同理由⊿OA'F∽⊿OCB可知:
OA'/A'F=OC/CB=(4√5)/(2√5)=2,则OA'=2A'F,A'F=OA'/2=√5.
∴S重叠(OA'F)=OA'*A'F/2=(2√5)*(√5)/2=5.