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《圆》基础测试
（一）选择题（每题2分，共20分）
1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有………………（ ）
（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个
【提示】若三点在一条直线上，则不能作出过这三点的圆，故②不对．【答案】B．
【点评】本题考查直径、过不在同一条直线上的三点的圆、外心、等圆与等弧等概念，其中第②个命题不对的原因在于忽视了过三点作图的条件．
2．下列判断中正确的是………………………………………………………………（ ）
（A）平分弦的直线垂直于弦（B）平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧
（C）弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧（D）平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
【提示】弦的垂直平分线平分弦、垂直于弦，因此平分弦所对的两条弧．【答案】C．
3．如图，在两半径不同的同心圆中，∠AOB＝∠A′OB′＝60°，则………………（ ）
（A） ＝ （B） ＞
（C） 的度数＝ 的度数
（D） 的长度＝ 的长度
【提示】因为在圆中，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，
而∠AOB＝∠A′OB′，所以 的度数＝ 的度数．【答案】C．
4．如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点E， 的度数为60°， 的度数为100°，则∠AEC等于………………………………………………………………………（ ）
（A）60° （B）100° （C）80° （D）130°
【提示】连结BC，则∠AEC＝∠B＋∠C＝ ×60°＋ ×100°＝80°．
【答案】C．
5．圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数比是2∶3∶6，则∠D的度数是（ ）
（A）67.5° （B）135° （C）112.5° （D）110°
【提示】因为圆内接四边形的对角之和为180°，则∠A＋∠C＝∠B＋∠D＝180°．又因为∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶6，所以∠B∶∠D＝3∶5，所以∠D的度数为 ×180°＝112.5°．【答案】C．
6．OA平分∠BOC，P是OA上任一点，C不与点O重合，且以P为圆心的圆与OC相离，那么圆P与OB的位置关系是………………………………………………（ ）
（A）相离 （B）相切 （C）相交 （D）不确定
【提示】因为以点P为圆心的圆与OC相离，则P到OC的距离大于圆的半径．又因为角平分线上的一点到角的两边的距离相等，则点P到OB的距离也大于圆的半径，故圆P与OB也相离．【答案】A．
7．△ABC的三边长分别为a、b、c，它的内切圆的半径为r，则△ABC的面积为（ ）
（A） （a＋b＋c）r （B）2（a＋b＋c）（C） （a＋b＋c）r （D）（a＋b＋c）r
【提示】连结内心与三个顶点，则△ABC的面积等于三个三角形的面积之和，所以△ABC的面积为 a·r＋ b·r＋ c·r＝ （a＋b＋c）r．【答案】A．
8．如图，已知四边形ABCD为圆内接四边形，AD为圆的直径，直线MN切圆于点B，DC的延长线交MN于G，且cos ∠ABM＝ ，则tan ∠BCG的值为……（ ）
（A） （B） （C）1 （D）
【提示】连结BD，则∠ABM＝∠ADB．因为AD为直径，所以∠A＋∠ADB＝90°，所以cos ∠ABM＝ ＝cos ∠ADB＝sin A，所以∠A＝60°．又因四边形ABCD内接于⊙O，所以∠BCG＝∠A＝60°．则tan ∠BCG＝ ． 【答案】D．
9．在⊙O中，弦AB和CD相交于点P，若PA＝3，PB＝4，CD＝9，则以PC、PD
的长为根的一元二次方程为…………………………………………………………（ ）
（A）x2＋9 x＋12＝0 （B）x2－9 x＋12＝0（C）x2＋7 x＋9＝0 （D）x2－7 x＋9＝0
【提示】设PC的长为a，则PD的长为（9－a），由相交弦定理得3×4＝a ·（9－a）．所以a2－9 a＋12＝0，故PC、PD的长是方程x2－9 x＋12＝0的两根．【答案】B．
10．已知半径分别为r和2 r的两圆相交，则这两圆的圆心距d的取值范围是………（ ）
（A）0＜d＜3 r （B）r＜d＜3 r （C）r≤d＜3 r （D）r≤d≤3 r
【提示】当两圆相交时，圆心距d与两圆半径的关系为2 r－r＜d＜2 r＋r，即r＜d＜3 r．【答案】B．
（三）填空题（每题2分，共20分）
11．某公园的一石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为_____．
【提示】如图，AB为弦，CD为拱高，则CD⊥AB，AD＝BD，且O在CD的延长线上．连结OD、OA，则OD＝ ＝ ＝5（米）．所以
CD＝13－5＝8（米）． 【答案】8米．
12．如图，已知AB为⊙O的直径，∠E＝20°，∠DBC＝50°，则∠CBE＝______．
【提示】连结AC．设∠DCA＝x°，则∠DBA＝x°，所以∠CAB＝x°＋20°．因为AB为直径，所以∠BCA＝90°，则∠CBA＋∠CAB＝90°．
又 ∠DBC＝50°，∴ 50＋x＋（x＋20）＝90．
∴ x＝10．∴ ∠CBE＝60°．【答案】60°．
13．圆内接梯形是_____梯形，圆内接平行四边形是_______．
【提示】因平行弦所夹的弧相等，等弧所对的弦相等，所以圆内接梯形是等腰梯形．同理可证圆内接平行四边形是矩形．【答案】等腰，矩形．
14．如图，AB、AC是⊙O的切线，将OB延长一倍至D，若∠DAC＝60°，则∠D＝_____．
【提示】连结OA．∵ AB、AC是⊙O的切线，∴ AO平分∠BAC，且OB⊥AB．又 OB＝BD，∴ OA＝DA．∴ ∠OAB＝∠DAB．
∴ 3∠DAB＝60°．∴ ∠DAB＝20°．∴ ∠D＝70°．
15．如图，BA与⊙O相切于B，OA与⊙O相交于E，若AB＝ ，EA＝1，则⊙O的半径为______．
【提示】延长AO，交⊙O于点F．设⊙O的半径为r．
由切割线定理，得AB2＝AE·AF．∴ （ ）2＝1·（1＋2 r）．
∴ r＝2．【答案】2．
16．已知两圆的圆心距为3，半径分别为2和1，则这两圆有______条公切线．
【提示】因为圆心距等于两圆半径之和，所以这两圆外切，故有两条外公切线，一条内公切线．
【答案】3．
17．正八边形有_____条对称轴，它不仅是______对称图形，还是_____对称图形．
【提示】正n边形有n条对称轴．正2n边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【答案】8，轴，中心．
18．边长为2 a的正六边形的面积为______．
【提示】把正六边形的中心与六个顶点连结起来，所得六个等边三角形全等．每个等边三角形的面积为 ·（2 a）2＝ a2，所以正六边形的面积为6 a2．
19．扇形的半径为6 cm，面积为9 cm2，那么扇形的弧长为______，扇形的圆心角度数为_____．
【提示】已知扇形面积为9 cm2，半径为6 cm，则弧长l＝ ＝3；设圆心角的度数为n，则 ＝3 cm，所以n＝ ．【答案】3； ．
20．用一张面积为900 cm2的正方形硬纸片围成一个圆柱的侧面，则这个圆柱的底面直径
为_____．
【提示】面积为900 cm2的正方形的边长为30 cm，则底面圆的周长30 cm．设直径为d，则pd＝30，故d＝ （cm）．【答案】 cm．
（三）判断题（每题2分，共10分）
21．相交两圆的公共弦垂直平分连结这两圆圆心的线段……………………………（ ）【答案】×．
【点评】相交两圆的连心线垂直平分公共弦，反过来公共弦不一定平分连结两圆圆心的线段．
22．各角都相等的圆内接多边形是正多边形…………………………………………（ ）【答案】×．
【点评】矩形内接于以对角线为直径的圆，但它不是正多边形．
23．正五边形既是轴对称图形，又是中心对称图形…………………………………（ ）【答案】×．
【点评】正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形．
24．三角形一定有内切圆………………………………………………………………（ ）【答案】√．
【点评】作三角形的两条角平分线，设交点为I，过I作一边的垂线段，则以点I为圆心，垂线段长为半径的圆即三角形的内切圆．
25．平分弦的直径垂直于弦……………………………………………………………（ ）【答案】×．
【点评】当被平分的弦为直径时，两直径不一定垂直．
（四）解答题：（共50分）
26．（8分）如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，且AE＝1 cm，EB＝5 cm，
∠DEB＝60°，求CD的长．
【分析】因为AE＝1 cm，EB＝5 cm，所以OE＝ （1＋5）－1＝2（cm）．在Rt△OEF中可求EF的长，则EC、ED都可用DF表示，再用相交弦定理建立关于DF的方程，解方程求DF的长．
【略解】∵ AE＝1 cm，BE＝5 cm，∴ ⊙O的半径为3 cm．∴ OE＝3－1＝2（cm）．在Rt△OEF中，∠OEF＝60°，∴ EF＝cos 60°·OE＝ ·2＝1（cm）．∵ OF⊥CD，∴ FC＝FD．∴ EC＝FC－FE＝FD－FE，ED＝EF＋FD．即 EC＝FD－1，ED＝FD＋1．由相交弦定理，得 AE·EB＝EC·ED．∴ 1×5＝（FD－1）（FD＋1）．解此方程，得 FD＝ （负值舍去）．∴ CD＝2FD＝2 （cm）．
27．（8分）如图，AB为⊙O的直径，P为BA的延长线上一点，PC切⊙O于点C，
CD⊥AB，垂足为D，且PA＝4，PC＝8，求tan ∠ACD和sin ∠P的值．
【提示】连结CB，易证△PCA∽△PBC，所以 ＝ ．由切割线定理可求PB的长，所以
tan∠ACD＝tan ∠CBA＝ ＝ ．连结OC，则在Rt△OCP中可求
sin∠P的值．
【略解】连结OC、BC．∵ PC为⊙O的公切线，∴ PC2＝PA·PB．
∴ 82＝4·PB．∴ PB＝16．∴ AB＝16－4＝12．易证△PCA∽△PBC．∴ ＝ ．∵ AB为⊙O的直径，∴ ∠ACB＝90°．又 CD⊥AB，∴ ∠ACD＝∠B．∴ tan ∠ACD＝tan B＝ ＝ ＝ ＝ ．
∵ PC为⊙O的切线，∴ ∠PCO＝90°．∴ sin P＝ ＝ ＝ ．
28．（8分）如图，已知ABCD是圆内接四边形，EB是⊙O的直径，且EB⊥AD，AD与BC的延长线交于F，求证 ＝ ．
【提示】连结AC，证△ABC∽△FDC．显然∠FDC＝∠ABC．因为AD⊥直径EB，由垂径定理得 ＝ ，故∠DAB＝∠ACB．又因为∠FCD＝∠DAB，所以
∠FCD＝∠ACB，故△ABC∽△FDC，则可得出待证的比例式．
【略证】连结AC．∵ AD⊥EB，且EB为直径，∴ ＝ ．
∴ ∠ACB＝∠DAB．∵ ABCD为圆内接四边形，∴ ∠FCD＝∠DAB，∠FDC＝∠ABC．
∴ ∠ACB＝∠FCD．∴ △ABC∽△FDC．∴ ＝ ．
29．（12分）已知：如图，⊙O1与⊙O2内切于点P，过点P的直线交⊙O1于点D，交⊙O2于点E；DA与⊙O2相切，切点为C．*（1）求证PC平分∠APD；（2）若PE＝3，PA＝6，求PC的长．
【提示】（1）过点P作两圆的公切线PT，利用弦切角进行角的转换；在（2）题中，可通过证△PCA∽△PEC，得到比例式 ＝ ，则可求PC．
*（1）【略证】过点P作两圆的公切线PT，连结CE．∵ ∠TPC＝∠4，∠3＝∠D．
∴ ∠4＝∠D＋∠5，∴ ∠2＋∠3＝∠D＋∠5．∴ ∠2＝∠5．
∵ DA与⊙O相切于点C，∴ ∠5＝∠1．∴ ∠1＝∠2．即PC平分∠APD．
（2）【解】∵ DA与⊙O2相切于点C，∴ ∠PCA＝∠4．
由（1），可知∠2＝∠1．∴ △PCA∽△PEC．
∴ ＝ ．即 PC2＝PA·PE．∵ PE＝3，PA＝6，∴ PC2＝18．∴ PC＝3 ．
5．（14分）如图，⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，点D是劣弧 的中点，连
结AD并延长，与过C点的切线交于P，OD与BC相交于点E．（1）求证OE＝ AC；
*（2）求证： ＝ ；（3）当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．
【提示】（1）因为AO＝BO，可证OE为△ABC的中位线，可通过证OE‖AC得到OE为中位线；（2）连结CD，则CD＝BD，可转化为证明 ＝ ．先证△PCD∽△PAC，得比例式 ＝ ，两边平方得 ＝ ，再结合切割线定理可证得 ＝ ＝ ；（3）利用（2）可求DP、AP，再利用勾股定理、切割线定理可求出PC的长．
（1）【略证】∵ AB为直径，∴ ∠ACB＝90°，
即 AC⊥BC．∵ D为 的中点，由垂径定理，得
OD⊥BC．∴ OD‖AC．又∵ 点O为AB的中点，∴ 点E为BC的中点．∴ OE＝ AC．
*（2）【略证】连结CD．∵ ∠PCD＝∠CAP，∠P是公共角，∴ △PCD∽△PAC．∴ ＝ ．
∴ ＝ ．又 PC是⊙O的切线，∴ PC2＝PD·DA．∴ ＝ ，
∴ ＝ ．∵ BD＝CD，∴ ＝ ．
（3）【略解】在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝10，∴ BC＝ ＝8．∴ BE＝4．
∵ OE＝ ＝3，∴ ED＝2．则在Rt△BED中，BD＝ ＝2 ，
在Rt△ADB中，AD＝ ＝4 ．∵ ＝ ，∴ ＝ ．
解此方程，得 PD＝5 ，AP＝9 ．又 PC2＝DP·AP，∴ PC＝ ＝15．
《函数》基础测试
（一）选择题（每题4分，共32分）
1．下列各点中，在第一象限内的点是………………………………………………（ ）
（A）（－5，－3） （B）（－5，3） （C）（5，－3） （D）（5，3）
【提示】第一象限内的点，横坐标、纵坐标均为正数．【答案】D．
2．点P（－3，4）关于原点对称的点的坐标是……………………………………（ ）
（A）（3，4） （B）（－3，－4） （C）（－4，3） （D）（3，－4）
【提示】关于原点对称的两个点的横、纵坐标分别互为相反数．【答案】D．
．若点P（a，b）在第3四象限，则点Q（－a，b－4）在象限是………………（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
【提示】由题意得a＞0，b＜0，故－a＜0，b－4＜0．【答案】C．
4．函数y＝ ＋ 中自变量x的取值范围是……………………………（ ）
（A）x≤2 （B）x＝3 （C）x＜2且x≠3 （D）x≤2且x≠3
【提示】由2－x≥0且x－3≠0，得x≤2．
【答案】A．
【点评】注意：D的错误是因为x≤2时x已不可能为3．
5．设y＝y1＋y2，且y1与x2成正比例，y2与 成反比例，则y与x的函数关系是（ ）
（A）正比例函数 （B）一次函数 （C）二次函数 （D）反比例函数
【提示】设y1＝k1x2（k1≠0），y2＝ ＝k2x（k2≠0），则y＝k1x2＋k2x（k1≠0，k2≠0）．
【答案】C．
6．若点（－m，n）在反比例函数y＝ 的图象上，那么下列各点中一定也在此图象上的点是……………………………………………………………………………………（ ）
（A）（m，n） （B）（－m，－n） （C）（m，－n） （D）（－n，－m）
【提示】由已知得k＝－mn，故C中坐标合题意．
【答案】C．
7．二次函数式y＝x2－2 x＋3配方后，结果正确的是………………………………（ ）
（A）y＝（x＋1）2－2 （B）y＝（x－1）2＋2
（C）y＝（x＋2）2＋3 （D）y＝（x－1）2＋4
【提示】y＝x2－2 x＋3＝x2－2 x＋1＋2＝（x－1）2＋2．
【答案】B．
8．若二次函数y＝2 x2－2 mx＋2 m2－2的图象的顶点在x 轴上，则m 的值是（ ）
（A）0 （B）±1 （C）±2 （D）±
【提示】由题意知D ＝0，即4 m2－8 m2＋8＝0，故m＝± ．
【答案】D．
【点评】抛物线的顶点在x 轴上，表明抛物线与x 轴只有一个交点，此时 D ＝0．
（二）填空题（每小题4分，共28分）
9．函数y＝ 中自变量x 的取值范围是___________．
【提示】由题意，得x－1≠0，x－3≠0．
【答案】x≠1，且x≠3．
【点评】注意零指数的底数不为0以及结论中的“且”字．
10．若反比例函数的图象过点（－1，2），则它的解析式为__________．
【提示】设反比例函数解析式为y＝ ，则k＝－2．
【答案】y＝－ ．
11．当m＝_________时，函数（m2－m） 是一次函数．
【提示】2 m2－m＝1，解得m1＝－ ，m2＝1（舍去）．
【答案】m＝－ ．
【点评】根据一次函数的定义，得2 m2－m＝1，且m2－m≠0．
12．已知一次函数y＝kx＋b（k≠0），当x＝1时，y＝3；当x＝0时，y＝2．则函数解析式为________，函数不经过第_____象限，y 随x 增大而________．
【提示】设一次函数为y＝kx＋b，把已知值代入求出k，b．
【答案】y＝x＋2，四，增大．
【点评】本题考查一次函数的性质与解析式的求法．
13．二次函数y＝－x2＋mx＋2的最大值是 ，则常数m＝_________．
【提示】可应用顶点坐标公式求出顶点纵坐标．
【答案】±1．
【点评】本题考查二次函数最大（小）值的求法．本题还可用配方法求解．
14．如果二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象的顶点是（－2，4），且过点（－3，0），则a为_____________．
【提示】用顶点式求出二次函数解析式．
【答案】－4．
15．若直线y＝3 x＋b 与两坐标轴所围成的三角形的面积为24，则b＝_________．
【提示】直线与y 轴交点坐标为（0，b），与x 轴交点坐标为（－ ，0），故
24＝ ·|b|·|－ |．
【答案】±12．
【点评】根据直线与x 轴、y 轴交点坐标的求法．求面积时对含b 的式子要加绝对值符号．
（三）解答题
16．（6分）已知正比例函数的图象经过点（1，－2），求此函数的解析式，并在坐标系中画出此函数的图象．
【解】设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0）．
∵ 图象过（1，－2），
∴ －2＝k．
∴ 函数解析式为y＝－2 x．
其图象如右图所示．
17．（8分）按下列条件，求二次函数的解析式：
（1）图象经过A（0，1），B（1，3），C（－1，1）；
（2）图象经过（3，1），且当x＝2时有最大值为3．
【答案】（1）y＝x2＋x＋1；（2）y＝－2 x2＋8 x－5．
【点评】要会用待定系数法求抛物线的解析式，（2）中隐含顶点坐标为（2，3）．
18．（8分）已知二次函数y＝2 x2－4 x－6．
（1）求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出草图．
（2）求图象与x 轴的交点坐标，与y 轴的交点坐标．
（3）当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？
（4）x 为何值时y≥0？
【解】（1）图象开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，－8）；
（2）与x 轴交于（－1，0），（3，0）两点，与y 轴交于（0，－6）；
（3）当x＞1时，y 随x 增大而增大；
（4）当x≤－1或x≥3时，y≥0．
19．（8分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，经调查发现，若每件衬衫每降价1元，商场平均每天可以多售出2件．（1）若每件降价x 元，每天盈利y 元，求y 与x 的关系式．（2）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（3）每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？盈利多少元？
【解】（1）y＝（40－x ）（2 x＋20）＝－2 x2＋60 x＋800．
（2）当y＝1200时，
－2 x2＋60 x＋800＝1200，
∴ x1＝10，x2＝20．
∵ 要尽快减小库存，
∴ x＝20．
（3）y＝－2（x－15）2＋1250，故每件降价15元时，最多盈利可达1250元．
【点评】要注意尽量减少库存的隐含条件．
20．（10分）已知x 轴上有两点A（x1，0），B（x2，0），在y 轴上有一点C，x1，x2 是方程x2－m2x－5＝0的两个根，且 ＝26，△ABC 的面积是9．（1）求A，B，C 三点的坐标；（2）求过A，B，C 三点的抛物线的解析式．
【解】（1）∵ x1＋x2＝m2，x1x2＝－5，
∴ ＝（x1＋x2 ）2－2 x1x2＝m4＋10＝26．
∴ m2＝4，则方程为x2－4 x－5＝0．
故x1＝5，x2＝－1．
∴ A（－1，0），B（5，0）或A（5，0），B（－1，0）．
设C点坐标为（0，c）．
∵ AB＝ ＝6，S△ABC＝ AB·|h|＝9，
∴ h＝±3．
∴ C（0，3）或（0，－3）．
（2）抛物线的解析式为
y＝－ ＋ x＋3或y＝ － x－3．
（一）选择题（每题2分，共20分）
1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有………………（ ）
（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个
【提示】若三点在一条直线上，则不能作出过这三点的圆，故②不对．【答案】B．
【点评】本题考查直径、过不在同一条直线上的三点的圆、外心、等圆与等弧等概念，其中第②个命题不对的原因在于忽视了过三点作图的条件．
2．下列判断中正确的是………………………………………………………………（ ）
（A）平分弦的直线垂直于弦（B）平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧
（C）弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧（D）平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
【提示】弦的垂直平分线平分弦、垂直于弦，因此平分弦所对的两条弧．【答案】C．
3．如图，在两半径不同的同心圆中，∠AOB＝∠A′OB′＝60°，则………………（ ）
（A） ＝ （B） ＞
（C） 的度数＝ 的度数
（D） 的长度＝ 的长度
【提示】因为在圆中，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，
而∠AOB＝∠A′OB′，所以 的度数＝ 的度数．【答案】C．
4．如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点E， 的度数为60°， 的度数为100°，则∠AEC等于………………………………………………………………………（ ）
（A）60° （B）100° （C）80° （D）130°
【提示】连结BC，则∠AEC＝∠B＋∠C＝ ×60°＋ ×100°＝80°．
【答案】C．
5．圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数比是2∶3∶6，则∠D的度数是（ ）
（A）67.5° （B）135° （C）112.5° （D）110°
【提示】因为圆内接四边形的对角之和为180°，则∠A＋∠C＝∠B＋∠D＝180°．又因为∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶6，所以∠B∶∠D＝3∶5，所以∠D的度数为 ×180°＝112.5°．【答案】C．
6．OA平分∠BOC，P是OA上任一点，C不与点O重合，且以P为圆心的圆与OC相离，那么圆P与OB的位置关系是………………………………………………（ ）
（A）相离 （B）相切 （C）相交 （D）不确定
【提示】因为以点P为圆心的圆与OC相离，则P到OC的距离大于圆的半径．又因为角平分线上的一点到角的两边的距离相等，则点P到OB的距离也大于圆的半径，故圆P与OB也相离．【答案】A．
7．△ABC的三边长分别为a、b、c，它的内切圆的半径为r，则△ABC的面积为（ ）
（A） （a＋b＋c）r （B）2（a＋b＋c）（C） （a＋b＋c）r （D）（a＋b＋c）r
【提示】连结内心与三个顶点，则△ABC的面积等于三个三角形的面积之和，所以△ABC的面积为 a·r＋ b·r＋ c·r＝ （a＋b＋c）r．【答案】A．
8．如图，已知四边形ABCD为圆内接四边形，AD为圆的直径，直线MN切圆于点B，DC的延长线交MN于G，且cos ∠ABM＝ ，则tan ∠BCG的值为……（ ）
（A） （B） （C）1 （D）
【提示】连结BD，则∠ABM＝∠ADB．因为AD为直径，所以∠A＋∠ADB＝90°，所以cos ∠ABM＝ ＝cos ∠ADB＝sin A，所以∠A＝60°．又因四边形ABCD内接于⊙O，所以∠BCG＝∠A＝60°．则tan ∠BCG＝ ． 【答案】D．
9．在⊙O中，弦AB和CD相交于点P，若PA＝3，PB＝4，CD＝9，则以PC、PD
的长为根的一元二次方程为…………………………………………………………（ ）
（A）x2＋9 x＋12＝0 （B）x2－9 x＋12＝0（C）x2＋7 x＋9＝0 （D）x2－7 x＋9＝0
【提示】设PC的长为a，则PD的长为（9－a），由相交弦定理得3×4＝a ·（9－a）．所以a2－9 a＋12＝0，故PC、PD的长是方程x2－9 x＋12＝0的两根．【答案】B．
10．已知半径分别为r和2 r的两圆相交，则这两圆的圆心距d的取值范围是………（ ）
（A）0＜d＜3 r （B）r＜d＜3 r （C）r≤d＜3 r （D）r≤d≤3 r
【提示】当两圆相交时，圆心距d与两圆半径的关系为2 r－r＜d＜2 r＋r，即r＜d＜3 r．【答案】B．
（三）填空题（每题2分，共20分）
11．某公园的一石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为_____．
【提示】如图，AB为弦，CD为拱高，则CD⊥AB，AD＝BD，且O在CD的延长线上．连结OD、OA，则OD＝ ＝ ＝5（米）．所以
CD＝13－5＝8（米）． 【答案】8米．
12．如图，已知AB为⊙O的直径，∠E＝20°，∠DBC＝50°，则∠CBE＝______．
【提示】连结AC．设∠DCA＝x°，则∠DBA＝x°，所以∠CAB＝x°＋20°．因为AB为直径，所以∠BCA＝90°，则∠CBA＋∠CAB＝90°．
又 ∠DBC＝50°，∴ 50＋x＋（x＋20）＝90．
∴ x＝10．∴ ∠CBE＝60°．【答案】60°．
13．圆内接梯形是_____梯形，圆内接平行四边形是_______．
【提示】因平行弦所夹的弧相等，等弧所对的弦相等，所以圆内接梯形是等腰梯形．同理可证圆内接平行四边形是矩形．【答案】等腰，矩形．
14．如图，AB、AC是⊙O的切线，将OB延长一倍至D，若∠DAC＝60°，则∠D＝_____．
【提示】连结OA．∵ AB、AC是⊙O的切线，∴ AO平分∠BAC，且OB⊥AB．又 OB＝BD，∴ OA＝DA．∴ ∠OAB＝∠DAB．
∴ 3∠DAB＝60°．∴ ∠DAB＝20°．∴ ∠D＝70°．
15．如图，BA与⊙O相切于B，OA与⊙O相交于E，若AB＝ ，EA＝1，则⊙O的半径为______．
【提示】延长AO，交⊙O于点F．设⊙O的半径为r．
由切割线定理，得AB2＝AE·AF．∴ （ ）2＝1·（1＋2 r）．
∴ r＝2．【答案】2．
16．已知两圆的圆心距为3，半径分别为2和1，则这两圆有______条公切线．
【提示】因为圆心距等于两圆半径之和，所以这两圆外切，故有两条外公切线，一条内公切线．
【答案】3．
17．正八边形有_____条对称轴，它不仅是______对称图形，还是_____对称图形．
【提示】正n边形有n条对称轴．正2n边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【答案】8，轴，中心．
18．边长为2 a的正六边形的面积为______．
【提示】把正六边形的中心与六个顶点连结起来，所得六个等边三角形全等．每个等边三角形的面积为 ·（2 a）2＝ a2，所以正六边形的面积为6 a2．
19．扇形的半径为6 cm，面积为9 cm2，那么扇形的弧长为______，扇形的圆心角度数为_____．
【提示】已知扇形面积为9 cm2，半径为6 cm，则弧长l＝ ＝3；设圆心角的度数为n，则 ＝3 cm，所以n＝ ．【答案】3； ．
20．用一张面积为900 cm2的正方形硬纸片围成一个圆柱的侧面，则这个圆柱的底面直径
为_____．
【提示】面积为900 cm2的正方形的边长为30 cm，则底面圆的周长30 cm．设直径为d，则pd＝30，故d＝ （cm）．【答案】 cm．
（三）判断题（每题2分，共10分）
21．相交两圆的公共弦垂直平分连结这两圆圆心的线段……………………………（ ）【答案】×．
【点评】相交两圆的连心线垂直平分公共弦，反过来公共弦不一定平分连结两圆圆心的线段．
22．各角都相等的圆内接多边形是正多边形…………………………………………（ ）【答案】×．
【点评】矩形内接于以对角线为直径的圆，但它不是正多边形．
23．正五边形既是轴对称图形，又是中心对称图形…………………………………（ ）【答案】×．
【点评】正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形．
24．三角形一定有内切圆………………………………………………………………（ ）【答案】√．
【点评】作三角形的两条角平分线，设交点为I，过I作一边的垂线段，则以点I为圆心，垂线段长为半径的圆即三角形的内切圆．
25．平分弦的直径垂直于弦……………………………………………………………（ ）【答案】×．
【点评】当被平分的弦为直径时，两直径不一定垂直．
（四）解答题：（共50分）
26．（8分）如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，且AE＝1 cm，EB＝5 cm，
∠DEB＝60°，求CD的长．
【分析】因为AE＝1 cm，EB＝5 cm，所以OE＝ （1＋5）－1＝2（cm）．在Rt△OEF中可求EF的长，则EC、ED都可用DF表示，再用相交弦定理建立关于DF的方程，解方程求DF的长．
【略解】∵ AE＝1 cm，BE＝5 cm，∴ ⊙O的半径为3 cm．∴ OE＝3－1＝2（cm）．在Rt△OEF中，∠OEF＝60°，∴ EF＝cos 60°·OE＝ ·2＝1（cm）．∵ OF⊥CD，∴ FC＝FD．∴ EC＝FC－FE＝FD－FE，ED＝EF＋FD．即 EC＝FD－1，ED＝FD＋1．由相交弦定理，得 AE·EB＝EC·ED．∴ 1×5＝（FD－1）（FD＋1）．解此方程，得 FD＝ （负值舍去）．∴ CD＝2FD＝2 （cm）．
27．（8分）如图，AB为⊙O的直径，P为BA的延长线上一点，PC切⊙O于点C，
CD⊥AB，垂足为D，且PA＝4，PC＝8，求tan ∠ACD和sin ∠P的值．
【提示】连结CB，易证△PCA∽△PBC，所以 ＝ ．由切割线定理可求PB的长，所以
tan∠ACD＝tan ∠CBA＝ ＝ ．连结OC，则在Rt△OCP中可求
sin∠P的值．
【略解】连结OC、BC．∵ PC为⊙O的公切线，∴ PC2＝PA·PB．
∴ 82＝4·PB．∴ PB＝16．∴ AB＝16－4＝12．易证△PCA∽△PBC．∴ ＝ ．∵ AB为⊙O的直径，∴ ∠ACB＝90°．又 CD⊥AB，∴ ∠ACD＝∠B．∴ tan ∠ACD＝tan B＝ ＝ ＝ ＝ ．
∵ PC为⊙O的切线，∴ ∠PCO＝90°．∴ sin P＝ ＝ ＝ ．
28．（8分）如图，已知ABCD是圆内接四边形，EB是⊙O的直径，且EB⊥AD，AD与BC的延长线交于F，求证 ＝ ．
【提示】连结AC，证△ABC∽△FDC．显然∠FDC＝∠ABC．因为AD⊥直径EB，由垂径定理得 ＝ ，故∠DAB＝∠ACB．又因为∠FCD＝∠DAB，所以
∠FCD＝∠ACB，故△ABC∽△FDC，则可得出待证的比例式．
【略证】连结AC．∵ AD⊥EB，且EB为直径，∴ ＝ ．
∴ ∠ACB＝∠DAB．∵ ABCD为圆内接四边形，∴ ∠FCD＝∠DAB，∠FDC＝∠ABC．
∴ ∠ACB＝∠FCD．∴ △ABC∽△FDC．∴ ＝ ．
29．（12分）已知：如图，⊙O1与⊙O2内切于点P，过点P的直线交⊙O1于点D，交⊙O2于点E；DA与⊙O2相切，切点为C．*（1）求证PC平分∠APD；（2）若PE＝3，PA＝6，求PC的长．
【提示】（1）过点P作两圆的公切线PT，利用弦切角进行角的转换；在（2）题中，可通过证△PCA∽△PEC，得到比例式 ＝ ，则可求PC．
*（1）【略证】过点P作两圆的公切线PT，连结CE．∵ ∠TPC＝∠4，∠3＝∠D．
∴ ∠4＝∠D＋∠5，∴ ∠2＋∠3＝∠D＋∠5．∴ ∠2＝∠5．
∵ DA与⊙O相切于点C，∴ ∠5＝∠1．∴ ∠1＝∠2．即PC平分∠APD．
（2）【解】∵ DA与⊙O2相切于点C，∴ ∠PCA＝∠4．
由（1），可知∠2＝∠1．∴ △PCA∽△PEC．
∴ ＝ ．即 PC2＝PA·PE．∵ PE＝3，PA＝6，∴ PC2＝18．∴ PC＝3 ．
5．（14分）如图，⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，点D是劣弧 的中点，连
结AD并延长，与过C点的切线交于P，OD与BC相交于点E．（1）求证OE＝ AC；
*（2）求证： ＝ ；（3）当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．
【提示】（1）因为AO＝BO，可证OE为△ABC的中位线，可通过证OE‖AC得到OE为中位线；（2）连结CD，则CD＝BD，可转化为证明 ＝ ．先证△PCD∽△PAC，得比例式 ＝ ，两边平方得 ＝ ，再结合切割线定理可证得 ＝ ＝ ；（3）利用（2）可求DP、AP，再利用勾股定理、切割线定理可求出PC的长．
（1）【略证】∵ AB为直径，∴ ∠ACB＝90°，
即 AC⊥BC．∵ D为 的中点，由垂径定理，得
OD⊥BC．∴ OD‖AC．又∵ 点O为AB的中点，∴ 点E为BC的中点．∴ OE＝ AC．
*（2）【略证】连结CD．∵ ∠PCD＝∠CAP，∠P是公共角，∴ △PCD∽△PAC．∴ ＝ ．
∴ ＝ ．又 PC是⊙O的切线，∴ PC2＝PD·DA．∴ ＝ ，
∴ ＝ ．∵ BD＝CD，∴ ＝ ．
（3）【略解】在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝10，∴ BC＝ ＝8．∴ BE＝4．
∵ OE＝ ＝3，∴ ED＝2．则在Rt△BED中，BD＝ ＝2 ，
在Rt△ADB中，AD＝ ＝4 ．∵ ＝ ，∴ ＝ ．
解此方程，得 PD＝5 ，AP＝9 ．又 PC2＝DP·AP，∴ PC＝ ＝15．
《函数》基础测试
（一）选择题（每题4分，共32分）
1．下列各点中，在第一象限内的点是………………………………………………（ ）
（A）（－5，－3） （B）（－5，3） （C）（5，－3） （D）（5，3）
【提示】第一象限内的点，横坐标、纵坐标均为正数．【答案】D．
2．点P（－3，4）关于原点对称的点的坐标是……………………………………（ ）
（A）（3，4） （B）（－3，－4） （C）（－4，3） （D）（3，－4）
【提示】关于原点对称的两个点的横、纵坐标分别互为相反数．【答案】D．
．若点P（a，b）在第3四象限，则点Q（－a，b－4）在象限是………………（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
【提示】由题意得a＞0，b＜0，故－a＜0，b－4＜0．【答案】C．
4．函数y＝ ＋ 中自变量x的取值范围是……………………………（ ）
（A）x≤2 （B）x＝3 （C）x＜2且x≠3 （D）x≤2且x≠3
【提示】由2－x≥0且x－3≠0，得x≤2．
【答案】A．
【点评】注意：D的错误是因为x≤2时x已不可能为3．
5．设y＝y1＋y2，且y1与x2成正比例，y2与 成反比例，则y与x的函数关系是（ ）
（A）正比例函数 （B）一次函数 （C）二次函数 （D）反比例函数
【提示】设y1＝k1x2（k1≠0），y2＝ ＝k2x（k2≠0），则y＝k1x2＋k2x（k1≠0，k2≠0）．
【答案】C．
6．若点（－m，n）在反比例函数y＝ 的图象上，那么下列各点中一定也在此图象上的点是……………………………………………………………………………………（ ）
（A）（m，n） （B）（－m，－n） （C）（m，－n） （D）（－n，－m）
【提示】由已知得k＝－mn，故C中坐标合题意．
【答案】C．
7．二次函数式y＝x2－2 x＋3配方后，结果正确的是………………………………（ ）
（A）y＝（x＋1）2－2 （B）y＝（x－1）2＋2
（C）y＝（x＋2）2＋3 （D）y＝（x－1）2＋4
【提示】y＝x2－2 x＋3＝x2－2 x＋1＋2＝（x－1）2＋2．
【答案】B．
8．若二次函数y＝2 x2－2 mx＋2 m2－2的图象的顶点在x 轴上，则m 的值是（ ）
（A）0 （B）±1 （C）±2 （D）±
【提示】由题意知D ＝0，即4 m2－8 m2＋8＝0，故m＝± ．
【答案】D．
【点评】抛物线的顶点在x 轴上，表明抛物线与x 轴只有一个交点，此时 D ＝0．
（二）填空题（每小题4分，共28分）
9．函数y＝ 中自变量x 的取值范围是___________．
【提示】由题意，得x－1≠0，x－3≠0．
【答案】x≠1，且x≠3．
【点评】注意零指数的底数不为0以及结论中的“且”字．
10．若反比例函数的图象过点（－1，2），则它的解析式为__________．
【提示】设反比例函数解析式为y＝ ，则k＝－2．
【答案】y＝－ ．
11．当m＝_________时，函数（m2－m） 是一次函数．
【提示】2 m2－m＝1，解得m1＝－ ，m2＝1（舍去）．
【答案】m＝－ ．
【点评】根据一次函数的定义，得2 m2－m＝1，且m2－m≠0．
12．已知一次函数y＝kx＋b（k≠0），当x＝1时，y＝3；当x＝0时，y＝2．则函数解析式为________，函数不经过第_____象限，y 随x 增大而________．
【提示】设一次函数为y＝kx＋b，把已知值代入求出k，b．
【答案】y＝x＋2，四，增大．
【点评】本题考查一次函数的性质与解析式的求法．
13．二次函数y＝－x2＋mx＋2的最大值是 ，则常数m＝_________．
【提示】可应用顶点坐标公式求出顶点纵坐标．
【答案】±1．
【点评】本题考查二次函数最大（小）值的求法．本题还可用配方法求解．
14．如果二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象的顶点是（－2，4），且过点（－3，0），则a为_____________．
【提示】用顶点式求出二次函数解析式．
【答案】－4．
15．若直线y＝3 x＋b 与两坐标轴所围成的三角形的面积为24，则b＝_________．
【提示】直线与y 轴交点坐标为（0，b），与x 轴交点坐标为（－ ，0），故
24＝ ·|b|·|－ |．
【答案】±12．
【点评】根据直线与x 轴、y 轴交点坐标的求法．求面积时对含b 的式子要加绝对值符号．
（三）解答题
16．（6分）已知正比例函数的图象经过点（1，－2），求此函数的解析式，并在坐标系中画出此函数的图象．
【解】设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0）．
∵ 图象过（1，－2），
∴ －2＝k．
∴ 函数解析式为y＝－2 x．
其图象如右图所示．
17．（8分）按下列条件，求二次函数的解析式：
（1）图象经过A（0，1），B（1，3），C（－1，1）；
（2）图象经过（3，1），且当x＝2时有最大值为3．
【答案】（1）y＝x2＋x＋1；（2）y＝－2 x2＋8 x－5．
【点评】要会用待定系数法求抛物线的解析式，（2）中隐含顶点坐标为（2，3）．
18．（8分）已知二次函数y＝2 x2－4 x－6．
（1）求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出草图．
（2）求图象与x 轴的交点坐标，与y 轴的交点坐标．
（3）当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？
（4）x 为何值时y≥0？
【解】（1）图象开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，－8）；
（2）与x 轴交于（－1，0），（3，0）两点，与y 轴交于（0，－6）；
（3）当x＞1时，y 随x 增大而增大；
（4）当x≤－1或x≥3时，y≥0．
19．（8分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，经调查发现，若每件衬衫每降价1元，商场平均每天可以多售出2件．（1）若每件降价x 元，每天盈利y 元，求y 与x 的关系式．（2）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（3）每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？盈利多少元？
【解】（1）y＝（40－x ）（2 x＋20）＝－2 x2＋60 x＋800．
（2）当y＝1200时，
－2 x2＋60 x＋800＝1200，
∴ x1＝10，x2＝20．
∵ 要尽快减小库存，
∴ x＝20．
（3）y＝－2（x－15）2＋1250，故每件降价15元时，最多盈利可达1250元．
【点评】要注意尽量减少库存的隐含条件．
20．（10分）已知x 轴上有两点A（x1，0），B（x2，0），在y 轴上有一点C，x1，x2 是方程x2－m2x－5＝0的两个根，且 ＝26，△ABC 的面积是9．（1）求A，B，C 三点的坐标；（2）求过A，B，C 三点的抛物线的解析式．
【解】（1）∵ x1＋x2＝m2，x1x2＝－5，
∴ ＝（x1＋x2 ）2－2 x1x2＝m4＋10＝26．
∴ m2＝4，则方程为x2－4 x－5＝0．
故x1＝5，x2＝－1．
∴ A（－1，0），B（5，0）或A（5，0），B（－1，0）．
设C点坐标为（0，c）．
∵ AB＝ ＝6，S△ABC＝ AB·|h|＝9，
∴ h＝±3．
∴ C（0，3）或（0，－3）．
（2）抛物线的解析式为
y＝－ ＋ x＋3或y＝ － x－3．
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