Question

(高数)交换二次积分的积分次序

交换二次积分的积分次序，题目如图，给出过程和图像
先谢

Answer 1

积分域D由直线y=x与抛物线y=x²所围成的平面图形。如图：

Answer 2

这类问题需要先按给定的积分次序画出积分区域草图，然后再确定更换次序后的积分限以完成解题。
①以本题为例，先看最右边的积分变量是x，那就涉及曲线x＝y和x＝√y，也就是y＝x和y＝x^2，这样首次积分就没事了。再看末次积分，积分变量是y，那y的变化范围就是从0到1.
于是，根据两条曲线y＝x、y＝x^2和y的变化范围是[0,1]，就可以把积分区域的草图画出来了。
②接下来是确定更换积分次序后的积分限。
为了确定x的积分限，把积分区域向x轴投影，投影区域的最大范围就是x的积分区间。本题把积分区域投影到x轴上后得到区间[0,1]，所以x的积分下限是0，上限是1。
为了确定y的变化范围，通常的做法是：在x的积分区间内任取一点x，过这点作垂直于x轴的直线，直线从下向上穿过积分区域D，其中直线进入区域时的点（即直线与下曲线的交点）对应的y值就是y的积分下限，而直线穿出D时的点（直线与上曲线的交点）对应的y值就是y的积分上限。本题中，在x的积分区间[0,1]内任意一点x处，作垂直于x轴的直线，该直线在与y＝x^2的交点处进入区域D，所以y的积分下限为x^2；上述直线在与y＝x的交点处穿出区域D，所以y的积分上限是x.
综合①、②，得到更换积分次序后的首次积分限（对y积分）下限为x^2，上限是x；而末次积分限（对x积分）下限为0，上限为1.

追答

为了帮助初学者真正弄清楚这类问题的解法，叙述得比较详细，希望能够耐心细读

Answer 3

原式＝∫(0--＞1)dx∫(x²--＞x) f(x，y) dy