Question

在△ABC中，如果(a2/b2)=(tanA/tanB)，试判断△ABC的形状

Answer 1

a2是a^2的意思的话，
情况1：若△ABC是直角三角形，且a、b为两直角边，则显然符合
情况2：若△ABC不是直角三角形，
过A作BC垂线交于A'，记AA'为ha，记A'B为a1
过B做AC垂线交于B'，记BB'为hb，记AB'为b1
那么，(a^2/b^2)=tanA/tanB可表示为：
(a^2/b^2)=(hb/b1)/(ha/a1)，即(a^2/b^2)=(hb*a1)/(ha*b1)
两边同乘b/a后得：a/b=(hb*b*a1)/(ha*a*b1)=a1/b1，(hb*b=ha*a=S△ABC)
同样因为hb*b=ha*a=S△ABC，得a/b=hb/ha，即a/b=hb/ha=a1/b1
观察直角三角形ABA'和ABB'，式子hb/ha=a1/b1表示它们的两条直角边成比例，
如果我没记错的话：两边成比例，这两边的夹角相等，则这两个三角形相似
那么这两个三角形相似，可得：角A=角B
所以这个三角形为等腰三角形

综上，△ABC为等腰三角形或直角三角形

PS：分情况讨论是因为如果△ABC是直角三角形，作垂线以后a1、b1是0

Answer 2

解：由正弦定理得：
a/sinA=b/sinB即a/b=sinA/sinB
因为tanA：tanB=a²：b²
所以tanA：tanB=sin²A：sin²B
即tanA*sin²B=sin²A*tanB
sinB/cosA=sinA/cosB
sinBcosB=sinAsinB
sin2B=sin2A (*)
因为0°<A<180°，0°<B<180°且0°<A+B<180°
所以0°<2A<360°，0°<2B<360°
则由（*）式可得：
2A＝2B或2A+2B=180°
解得A=B或A+B=90°
所以△ABC是等腰三角形或是直角三角形

Answer 3

根据正弦定理得：(a2/b2)=（sinA/sinB）
又题可得：sinA/sinB=tanA/sinB所以
cosA/cosB=1；所以A=B；
所以是等腰三角形
注：A的对边是a2，B的对边是b2.