Question

用极坐标求 ∫∫arctany/x dxdy 区域D为 x2+y2=1,x2+y2=4与y=x在第一象限所围成的区域 急用 谢谢~~

Answer 1

x+y=1的极坐标方程为：r=1
x+y=2x的极坐标方程为：r=2rcosθ，即r=2cosθ
2cosθ=1，则：cosθ=1/2，θ=π/3
请自己画图
因此两曲线所围区域可分为两部分，
第一部分θ：0-->π/3，r：0-->1
第二部分：θ：π/3-->π/2，r：0-->2cosθ
∫∫xydxdy
=∫∫rcosθ*rsinθ*rdrdθ
=∫[0-->π/3]∫[0-->1]
rcosθsinθ
drdθ+∫[π/3-->π/2]∫[0-->2cosθ]
rcosθsinθ
drdθ
=∫[0-->π/3]cosθsinθdθ*∫[0-->1]
rdr+∫[π/3-->π/2]
cosθsinθdθ∫[0-->2cosθ]
rdr
=1/4∫[0-->π/3]sinθd(sinθ)*r
|
[0-->1]
+
1/4∫[π/3-->π/2]
cosθsinθ*r｜[0-->2cosθ]dθ
=1/8sinθ
|[0-->π/3]
+
4∫[π/3-->π/2]
cosθsinθ*cosθdθ
=(1/8)(3/4)
-
4∫[π/3-->π/2]
cosθd(cosθ)
=3/32
-
2/3cosθ
|[π/3-->π/2]
=3/32
+
(2/3)(1/64)
=9/96
+
1/96
=10/96
=5/48
感觉这个题应该是你的答案错了。

Answer 2

题目写得不清楚，这三条线不能围成区域。
x=rcosa,y=rsina,1<=r<=2,0<=a<=pi/4，
积分=积分（从1到2）dr
积分（从0到pi/4）arda
=积分（从1到2）rdr
*pi^2/32
=3*pi^2/64。

Answer 3

用极坐标来算

x=rcosθ，y=rsinθ，y/x=tanθ

arctan（tanθ）=θ

详情如图所示，有任何疑惑，欢迎追问