Question

求函数y=根号下（x+2）/（x+3）的值域 要过程谢谢！

如图

Answer 1

求函数y=[√(x+2)]/(x+3)的值域
解：定义域：x≧-2.
令y′=[(x+3)/2√(x+2)-√(x+2)]/(x+3)²=[(x+3)-2(x+2)]/[(x+3)²√(x+2)]=-(x+1)/[(x+3)²√(x+2)]=0
得驻点x=-1， 当-2≦x<-1时,y′>0；当x>-1时，y′<0；故x=-1是极大点，极大值=y(-1)=1/2；
y(-2)=0；在区间[-2，-1]内y单调增；在区间[-1，+∞)内单调减；
且x→+∞limy=x→+∞lim[√(x+2)]/(x+3)=x→+∞lim√[(x+2)/(x+3)²]=0；故值域为(0，1/2]。

Answer 2

y=√（x+2）/（x+3）
=√(x+2)/[(x+2)+1]
当x=-2时 y=0
当x≠-2时
1/y=√(x+2)+1/√(x+2)≥2
所以 1/y≥2
0<y≤1/2
综上y的值域为 [0,1/2]

Answer 3

将分母拆成（x+2)+1,然后分子分母同时除以分子，结果分子变为1，而分母此时可以用均值不等式，需要注意的就是根式大于0且分母不等于0是其定义域，在这个定义域下应用均值不等式即可得到值域。过程就是这样，具体计算请自己算一下。