求解高数问题
设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x,y,恒有[f(x)-f(y)]的绝对值≤L(x-y)的绝对值,其中L为正常,且f(a)*f(b)<0.证明:至少存在一点...
设函数f( x)对于闭区间[a,b] 上的任意两点x,y ,恒有[f(x)-f(y)]的绝对值≤L(x-y)的绝对值 ,其中L为正常
,且f(a)*f(b)<0 .
证明:至少存在一点 ξ,使 f(ξ)=0
答案里划线的地方不懂 展开
,且f(a)*f(b)<0 .
证明:至少存在一点 ξ,使 f(ξ)=0
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2个回答
2019-01-16 · 知道合伙人教育行家
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先用定义证明f(x)在[a,b]上的每一点连续
x0为[a,b]上任意一点,对任意ε>0
令δ=min(ε/L,1),当a<=x<=b且|x-x0|<δ时都有:
|f(x)-f(x0)|<L|x-x0|<Lδ<=ε,
所以f(x)在x=x0处连续,注意到x0是[a,b]上任意一点
所以f(x)在[a,b]上连续
又f(a)*f(b)<0
由零点定理所以在(a,b)内存在一点ξ,使f(ξ)=0
零点定理的证明用闭区间套定理证明
看了标准解答,x∈(a,b),取δ=min(ε/L,x0-a,b-x0)不妥,不能证明在x=a处右连续、在x=b处左连续!
x0为[a,b]上任意一点,对任意ε>0
令δ=min(ε/L,1),当a<=x<=b且|x-x0|<δ时都有:
|f(x)-f(x0)|<L|x-x0|<Lδ<=ε,
所以f(x)在x=x0处连续,注意到x0是[a,b]上任意一点
所以f(x)在[a,b]上连续
又f(a)*f(b)<0
由零点定理所以在(a,b)内存在一点ξ,使f(ξ)=0
零点定理的证明用闭区间套定理证明
看了标准解答,x∈(a,b),取δ=min(ε/L,x0-a,b-x0)不妥,不能证明在x=a处右连续、在x=b处左连续!
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