Question

一个高数题，请大佬解释一下？

①设 f(x)在x=x0的某邻域可导,且f '(x0)=A,则 lim(x→x0) f '(x)存在等于A.
②设 f(x)在x=x0处连续,且 lim(x→x0) f '(x)存在等于A,则 f '(x0)存在等于A.
不是说可导一定连续吗？那 f(x)在x=x0的某邻域可导是不是说明f（x）在x=x0处可导呢？从而推出设 f(x)在x=x0处连续，让这两个式子都能使用洛必达法则解决呢？

Answer 1

它的邻域可导，不能说明在他这点可导，你比如y的x绝对值在x为零的时候，左邻域右邻域，都可导的，但是在这点本身是不可导的，另外还有一种情况是在这个点没有定义，它左右都导，但是因为没有定义，所以该点不可导。函数可导的条件：

1、函数在该点的去心邻域内有定义。

2、函数在该点处的左、右导数都存在。

3、左导数＝右导数。

注：这与函数在某点处极限存在是类似的。你写的第一个里面已经默认在这一点的导数是存在的了。