Question

求过a(1，4)、b(3，2)且圆心在y=0上的圆的标准方程，并判断M(2，3)，N(2，4)与圆的位置关系

Answer 1

根据题意
设方程为(x-a)^2+y^2=r^2
将a(1，4)、b(3，2)代入得
(1-a)²+16=r²
(3-a)²+4=r²
解得
a=-1
r²=20
圆的标准方程为(x+1)^2+y^2=20
圆心O为(-1,0)
半径为2√5
M(2，3)，N(2，4)
|OM|=√[(2+1)²+3²]=3√2
3√2<2√5
所以
M在圆内
|ON|=√[(2+1)²+4²]=5
2√5<5
所以
M在圆外

Answer 2

圆心在y=0上的圆的标准方程
设圆方程为(x-a)²+y²=r²
将(1，4)、b(3，2)代入得
(1-a)²+16=r²
(3-a)²+4=r²
解得
a=-1
r²=20
圆方程为(x+1)²+y²=20
圆心O为(-1,0)
半径为2√5
M(2，3)，N(2，4)
|OM|=√[(2+1)²+3²]=3√2
3√2<2√5
所以M在圆内
|ON|=√[(2+1)²+4²]=5
2√5<5
所以N在圆外

Answer 3

设圆心坐标为（x.0）,则有（x-1）²+(0-4)²=(x-3)²+(0-2)²
解得x=-1,圆半径为 √（1-（-1））²+（0-4）²=√20=2√5
所以圆的方程为 （x+1）²+y²=20
M(2，3)，到圆心（-1,0）的距离为3√2，小于圆半径，所以在圆的内部
N(2，4)到圆心距离为5，大于圆半径，所以在圆的外部。

Answer 4

由已知可以设圆心坐标为O(0，y)
OA^2=OB^2=R^2 (0-1)^2+(y-4)^2=(0-3)^2-(y-2)^2
y=1
O(0,1)
x^2+(y-1)^2=OA^2=10=R^2
OM^2=√2^2+2^2=8
ON^2=2^2+3^2=13
OM^2<R^2<ON^2
M在圆O内 ， N在圆O外