Question

高等数学求详解求详解

求详解

Answer 1

令f(x)=2arctan(x)-ln(1+x²)  x<0

f'(x)=2/(1+x²)-2x/(1+x²)=(2-2x)/(1+x²)>0

f(x)单调递增

x<0时

f(x)=2arctan(x)-ln(1+x²)<f(0)=0

即2arctan(x)<ln(1+x²)

以上为一般的证明方法，本题特殊，可以采用以下方法：

x<0时 arctan(x)<0→2arctan(x)<0 ln(1+x²)>ln1=0

∴arctan(x)<ln(1+x²)

Answer 2

令f(x)=ln(1+x²)-2arctanx
那么f'(x)=2x/(1+x²)-2/(1+x²)=2(x-1)/(1+x²)
当x<0时，f'(x)<0，∴f(x)在(-∞,0)上单调递减
∴f(x)min=f(0)=0-0=0，∴f(x)>0
即ln(1+x²)-2arctanx>0，∴2arctanx<ln(1+x²)