Question

求这道高数题的详细解答

Answer 1

先设F（x，y，z）=x/y-ln（z/y）二元隐函数，然后根据隐函数公式

最后代入（e，1,e）=1/8

Answer 2

x = zlnz - zlny
1 = (∂z/∂x)lnz + ∂z/∂x - (∂z/∂x)lny, ∂z/∂x = 1/(1+lnz-lny);
0 = (∂z/∂y)lnz + ∂z/∂y - (∂z/∂y)lny - z/y, ∂z/∂y = z/[y(1+lnz-lny)].
在点 (e, 1, e), ∂z/∂x = 1/2, ∂z/∂y = e/2
∂^2z/∂x∂y = -[(∂z/∂y)/z-1/y]/(1+lnz-lny)^2
在点 (e, 1, e), ∂^2z/∂x∂y = -(1/2-1)/2^2 = 1/8

Answer 3

Answer 4

分析，根据隐函数求导法则即可
解：
令：F(x,y,z)=(x/z)-ln(z/y)=0，于是：
F'x=1/z
F'y=1/y
F'z=-(x+z)/z²
∴
∂z/∂x=-F'x/F'z=z/(x+z)
∂z/∂y=-F'y/F'z=z²/y(x+z)
于是：
∂²z/∂x∂y
=[(∂z/∂x)(x+z)-z(∂z/∂y)]/(x+z)²
=[z(x+z)-z³/y(x+z)]/(x+z)²
=[yz(x+z)²-z³]/y(x+z)³
∂²z/∂x∂y|(e,1,e)=3/8