Question

观察下列算式

1·2·3·4+1=5^22·3·4·5+1=11^23·4·5·6+1=19^2（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；（2）请根据（1），计算出2000·2001·2002·2003+1的结果。

Answer 1

(1)
X*(X+1)*(X+2)*(X+3) + 1
= (X²+X)*(X²+5X+6) + 1
= X^4 + 6X^3 + 11X^2 + 6X + 1 【令其 = (X²+AX+B)²展开对应系数，解出A=3、B=1】
= (X² + 3X + 1)²

(2)
X = 2000
2000·2001·2002·2003+1
= (2000*2000+3*2000+1)²
= 4006001²
= 16048044012001

Answer 2

1·2·3·4+1=5^2
2*3*4*5+1=11^2
3*4*5*6+1=19^2
4*5*6*7+1=29^2
有普遍性的结论n*(n+1)(n+2)(n+3)+1=[(n+1)^2+n]^2
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=n(n+3)(n+1)(n+2)+1
=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1
=（n^2+3n）^2+2(n^2+3n)+1
=(n^2+3n+1)^2
=[(n+1)^2+n]^2

(2)2000·2001·2002·2003+1=(2001^2+2000)^2=16048044012001