Question

求解微分方程组 dx/dt=ax-dx-pxy dy/dt=-by-fy+pxy a,b,d,f,p都是常数。

看了书也没明白该怎么求解，主要是解出x，y的表达式，做分析用，还有x与y的关系。
我现在有x的数据，想分析y的曲线形式。
这个事捕食者与食饵的模型，如果有更好的微分模型，当然更好了。

Answer 1

可用消元法来解：
x'=ax-dx-pxy=Ax-pxy, A=a-d 1）
y'=-by-fy+pxy=By+pxy, B=-b-f 2）
由第1式得：y=(Ax-x')/(px) 3）
故：y'=[(A-x")x-(Ax-x')]/(px^2)=(-xx"+x')/(px^2) 4）
将y,y'代入第2式得：(-xx"+x')/(px^2)=B(Ax-x')/(px)+(Ax-x')
化简得：-xx"+x'=BAx^2-Bxx'+pAx^3-px^2 x'
xx"-x'(Bx+px^2+1)+BAX^2+pAx^3=0
这是一个关于x的二阶微分方程，可解出x=x(t)
代入3式即得y(t).

追问

大神，帮帮忙，二阶微分方程我也不会求解啊，好人做到低，都给解出来吧。

追答

这不是常系数的方程，不好求呀。
你可以用级数方法，比如设
x=a0+a1t+a2t^2+a3t^3....,
x'=a1+2a2t+3a3t^2+...
x"=2a2+6a3t+...
代入方程比较系数，再逐个解出a0,a1,a2....

Answer 2

1楼好麻烦！还没最后答案！！！直接两式相除就消掉dt了
(1)当x=0且y=0时显然成立。
(2)当x≠0且y≠0时，
dy/dx=(-by-fy+pxy)/(ax-dx-pxy)，提公因式分离变量有[(a-d)/y-p]dy=[(-b-f)/x+p]dx
两边同时对对应变量积分有(a-d)ln|y|-py=(-b-f)ln|x|+px+C
移项变形为(b+f)ln|x|+(a-d)ln|y|=p(x+y)+C，即ln[|x|^(b+f)*|y|^(a-d)]=p(x+y)+C
所以最后得到x、y的关系式为x^(b+f)*y^(a-d)=Ce^[p(x+y)] (a,b,d,f,p,C均为常数)
综合上述：x、y的关系式为x^(b+f)*y^(a-d)=Ce^[p(x+y)] (a,b,d,f,p,C均为任意常数)