Question

圆系方程λ有什么意义？为什么有λ就能取遍全部过定点的圆？

过两圆交点的圆系方程中λ为什么能表示所有的过这两个交点的圆？？？

Answer 1

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理解：1.例题：求x+(m+1)y+m=0所过定点

解：可将原式化为x+y+m(y+1)=0

即为x+y=0；y+1=0

解得恒过点（1，-1）

由此我们理解到当除了x，y（为一次幂）还有一未知数m时,依然可求得一定点。

由此可联想：当有二次方程组x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0与x^2+y^2+D2x+E2y+F2=0我们便能求出两定点。

过一已知圆与一直线的两个交点的圆系方程为：

x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（Ax+By+C)=0

理解2：有二次方程组x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0 ①式

x^2+y^2+D2x+E2y+F2=0 ②式

①式+②式得x^2+y^2+D1x+E1y+F1+x^2+y^2+D2x+E2y+F2=0

此方程仅符合交点坐标(即带入交点后成立）

加入参数λ让方程代表恒过两点的所有圆。

追问

谢答！可能我还是不太明白“加入参数λ让方程代表横过两点的所有圆”，为什么加入了λ就可以？

追答

建议你分几个步骤来加深理解
（1）经过两个定点(x1,y1),(x2,y2)的圆的方程是什么
（2）如果定点是由一个圆与一条直线相交确定的，圆的方程是什么
（3）如果定点是由两个圆相交确定的，圆的方程是什么
实际上，这里面的关键是了解圆簇的概念是非常重要的。需要画图和推导来领会。