Question

求一道高数题

第2大题 第一小题

Answer 1

求微分方程 (y²-3x²)dy+2xydx=0满足初始条件y(0)=1的特解；

解：P=2xy；Q=y²-3x²；由于∂P/∂y=2x≠∂Q/∂x=-6x；∴这不是全微分方程；

但由于 

即有积分因子μ=y^(-4)；用μ乘原方程的两边得：

即同解方程(1)是全微分方程，其通解：

代入初始条件y(0)=1得C=-1；故满足初始条件的特解为：u(x,y)=(x²/y³)-(1/y)=-1;

检验：du=(∂u/∂x)dx+(∂u/∂y)dy=(2x/y³)dx+[(-3x²/y^4)+1/y²]dy=0

用y^4乘两边得同解方程：2xydx+(-3x²+y²)dy=0，这就是原方程，故运算正确。