Question

（a-b）（a^(n-1)-b^(n-1)）=(a-b)^2(a^(n-2)+a^(n-3)b+……+ab^(n-3)+b^(n-2))是怎样推出的

Answer 1

给你找的答案，自己看一下。
a^n-b^n
=a^n-a^(n-1)b+a^(n-1)b-a^(n-2)b^2+a^(n-2)b^2-a^(n-3)b^3+a^(n-3)b^3-……-ab^(n-1)+ab^(n-1)-b^n
=a^(n-1)(a-b)+a^(n-2)b(a-b)+a^(n-3)b^2(a-b)+……+b^(n-1)(a-b)
=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+……+b^(n-1)]
所以(a^n-b^n)/(a-b)=a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+……+b^(n-1)

从右边反推到左边 证明：
右边
= a*[a^(n-1)+ a^(n-2)*b +....+a*b^(n-2) + b^(n-1)]- b*[a^(n-1)+ a^(n-2)*b +....+a*b^(n-2) + b^(n-1)]
= a^n + a^(n-1)*b + a^(n-2)*b^2 +....+ a^2*b^(n-2) + a*b^(n-1)-[b^n + b^(n-1)*a + b^(n-2)*a^2 +....+ b^2*b^(a-2) + b*a^(n-1)]
= a^n + a^(n-1)*b + a^(n-2)*b^2 +....+ a^2*b^(n-2) + a*b^(n-1)-[b^n + b*a^(n-1) + b^2*b^(a-2) +....+ b^(n-2)*a^2 + b^(n-1)*a] (颠倒顺序，可以消去)
= a^n - b^n
=左边
因此原命题成立

追问

我最不明白的就是那些省略号省略的是啥

追答

=a^n-a^(n-1)b+a^(n-1)b-a^(n-2)b^2+a^(n-2)b^2-a^(n-3)b^3+a^(n-3)b^3-……
这儿省略号表达是-a^(n-3)b^4+a^(n-3)b^4-a^(n-3)b^5+a^(n-3)b^5-a^(n-3)b^6+a^(n-3)b^6......
一直到-a^(n-3)b^n+a^(n-3)b^n

就像你从1数到1000，你可以这么写1,2,3,4,5,6........1000

追问

真是不好意思，我因为没学过这个，所以还想再问一下省略号省略了啥，能具体一点吗？就是a^(n-1)+a^(n-2)b+... +...ab^(n-2)+b^(n-1)中的省略号是怎样省略的？举个例子，当n=4时，这个因数分解式写完整是什么？

追答

a^(n-1)+a^(n-2)b+... +...ab^(n-2)+b^(n-1)
省略号可以展开为a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+a^(n-4)b^3+a^(n-5)b^4+a^(n-6)b^5.....
最后b^(n-1) 前一项为b^(n-2)a,再前一项为b^(n-3)a^2依次类推，
a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+……+b^(n-1) 第一项a^(n-1) 和最后一项b^(n-1) 大体上呈对称关系。
毕业很多年了，具体的东西回答不了，只能这么给你提示一下。