高中数学解析几何问题

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说恒卯琴
2020-04-09 · TA获得超过3.7万个赞
知道大有可为答主
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已知方向向量为v=(1,√3)的直线l过点(0,-2√3)和椭圆C:
x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的右焦点且椭圆的离心率e=√6/3.
(1)求椭圆C的方程
(2)若已知点D(3,0),点M
N是椭圆上不重合的两点,且DM=kDN
(带向量符号),求实数k的取值范围
(1)
因为e=c/a=√(a²-b²)/a=√6/3
解得a²=3b²
a=√3b
直线的斜率为:方向向量(1,√3)的斜率
=√3
l过(0,-2√3)
,斜率为√3的方程
为:
y+2√3=√3x①
再令y=0解得x=2
,(2,0就是椭圆的右焦点了)
因为椭圆的右焦点为:(√(a²-b²),0)
√(3b²-b²)=2解得b²=2
a²=3*2=6
椭圆方程为x²/6+y²/2=1①
(2)
首先D(3,0)点在椭圆的外侧。
画图可以知道:
过(3,0)的直线组从与椭圆下方相切到X轴上然后再到与椭圆上方相切
它们的比值是从1(≠1)一直减小的
当到X轴时它最小
当直线为X轴上时,交点分别为左右顶点,分别为M(√6,0),N(-√6,0)
有k=(3-√6)/(3+√6)
反过来看(对调M,N)知它们的比值是从1一直增加的到(3+√6)/(3-√6)
所以有:k∈[(3-√6)/(3+√6),(3+√6)/(3-√6))]且k≠1

既k∈[5-2√6,1)∪(1,5+2√6]
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